Tiny Mersenne Twister (TinyMT)

Tiny Mersenne Twister

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このアーカイブには二種類のプログラムが入っています。ひとつはTinyMTで、もうひとつはTinyMTDC です。 TinyMT は疑似乱数生成器で、TinyMTDC はTinyMT用のパラメータ生成器です。

TinyMT

TinyMT はMersenne TwisterやWELL RNGと比べて小さな疑似乱数生成器です。 32bit 出力の tinymt32 は内部状態空間に16バイト、パラメータに12バイトしか使いません。 64bit 出力の tinymt64 は内部状態空間に16バイト、パラメータに16バイト使用します。 TinyMT によって生成される疑似乱数列の周期は2¹²⁷-1になります。

TinyMTは出力のビットサイズによってtinymt32とtinymt64の二つに分けられます。 tinymt32は32ビット符号なし整数と単精度浮動小数点数の疑似乱数を出力します。一方tinymt64は64ビット符号なし整数と倍精度浮動小数点数の疑似乱数を出力します。
TinyMTは特定のハードウェア向けに設計されていません。多くのハードウェアに実装することが可能だと思います。
TinyMTは状態遷移関数と出力関数という二つの関数によって疑似乱数を生成します。状態遷移関数は特性多項式が127次で既約となるF2線形関数であり、出力関数はF2線形ではないが、F2線形に近い関数です。出力関数のほとんどの演算は F2線形ですが、一つの演算だけはF2線形のベクトル加算の代わりに、mod 2³² または、mod 2⁶⁴の加算を使用しています。
TESTU01のBigcrushは疑似乱数に対する最も厳しいテストの一つですが、状態空間が小さいにも拘らず、TinyMTはBigcrushのすべてのテストに合格します。本当のことを言うと、これは正確な表現ではありません。正確に言うと、 TinyMTはパラメータによって生成する疑似乱数が異なるのですが、10個のパラメータについてそれぞれ10個の seed を使用して Bigcrush テストを行った結果パラメータとシードの組み合わせによってはいくつかのテストに合格しませんでした。しかし、Bigcrush には160のテストがあるので、全部で10×10×160個のテストが行われます。これだけ多くのテストを実行すると、真の乱数ですらいくつかのテストには合格しないでしょう。問題となるのは、特定のパラメータを使用するとseedに拘らず特定のテストで不合格となる場合ですが、そのような結果はありませんでした。それなので、TinyMTはBigcrushに合格すると書きました。
v ビット精度均等分布次元(k(v))という概念があります。高い k(v) は v ビット精度での高い次元での均等分布を示します。 TinyMTの場合、出力関数の非線形性によってこの値を計算することができません。その代わり、線形化した出力関数を使ってk(v)の高い値を示すパラメータを計算しました。その値はほとんど理論的上限に近くなりましたが、それでもMersenne Twister の 623 に比べてずっと小さい値です。ん。
TinyMT は Mersenne Twister に取って代わるような疑似乱数生成器ではなく、メモリ上の制限などから Mersenne Twister や、その他の状態空間の大きな疑似乱数生成器が使えない場合に使える、状態空間が小さい割にはそこそこよい、疑似乱数生成器です。

必要ライブラリ

TinyMT は C言語で書かれていて、 c99の stdint.h と inttypes.h を使用しています。

gcc は std=c99 オプションを指定することによりc99に対応します。
Visual Studio C/C++ は c99 に対応していませんが、Google Codes の msinttypesに Visual Studio 用のstdint.h とinttypes.hがあります。

チェックプログラムのコンパイルとチェック

tinymtにcdして
make all.
check32 と check64 ができる
プログラムの動作を確認するために、
check32 8f7011ee fc78ff1f 3793fdff > tmp32.txt
diff tmp32.txt check32.out.txt
check64 fa051f40 ffd0fff4 58d02ffeffbfffbc > tmp64.txt
diff tmp64.txt check64.out.txt
diff で違いがなければO.K.

TinyMTDC

TinyMTDC はTinyMT用のパラメータ生成器です。TinyMT は TinyMTDC で生成されたパラメータを使用しなければなりません。TinyMTDC はユーザの指定するidごとに2¹⁶個以上のパラメータを生成することができます。

TinyMTDC には tinymt32 用のパラメータを生成する tinymt32dc と tinymt64用のパラメータを生成するtinymt64dcがあります。
TinyMTDC はユーザの指定したid毎に指定した個数のパラメータを生成します。ひとつのidについて生成可能なパラメータの数は2²⁸以下になると思います。
TinyMTDC の生成するパラメータによるTinyMTの特性多項式は、idが異なれば異なる特性多項式になることが保証されています。

必要ライブラリ

TinyMTDC はC++で書かれていて、テンプレート機能を使用しています。

Victor Shoup's NTL: A Library for doing Number Theory.
C++ TR1 ライブラリ。g++ は ver. 4.0 以降、 Visual C++ は 2010 以降、または2008に Feature Packを入れる。 Intel C/C++ Compiler 少なくとも ver. 11.0 以降は対応している
（しかし、gcc 4.2.1 と icc ver. 11.1 でしかテストしていません）

コンパイル

dc/srcに cd して
make all
tinymt32dc, tinym64dc, getid が作られる

プログラムと使用方法

tinymt32dc [-v] [-c count] [-s seed_string] [-f outputfile] ID tinymt64dc [-v] [-c count] [-s seed_string] [-f outputfile] ID

この二つのプログラムはそれぞれ tinymt32 と tinymt64 用のパラメータを生成します。

引数（必須）

ID

ID は次の条件を満たす10進数で指定してください。 0 <= ID < 2³²
TinyMTDC では id が異なれば生成されたパラメータを使った疑似乱数の（状態遷移の）特性多項式も異なることが保証されています。
引数（任意）

-v

デバッグ用の詳細出力モードを指定します。使用しないでください。

-c count

出力するパラメータセットの数を指定します。省略すると1個だけ出力します。IDは変更されません。内部カウンタを更新してパラメータを生成します。 IDまたは内部カウンタが異なれば特性多項式が異なることが保証されています。

-a

可能な限り多くのパラメータセットを出力します。 -a が指定されると -c の指定を無視します。

-s seq

内部カウンタの初期値をセットします。省略すると最大値がセットされます。

-m 評価値

TinyMTDCの評価値であるtotal dimension defect の値がこの値以下のパラメータセットだけが出力されるようになります。省略すると評価値による出力抑制は行われません。 0 を指定すると最良の評価値のものだけが出力されます。なお、この評価値は内部評価のためのものであり、このパラメータセットを使用した疑似乱数列の均等分布を示すものではありません。（出力関数がF₂線形でないので）

-f filename

出力ファイル名を指定します。省略すると標準出力に結果が表示されます。

getid -b 32|64 mat1 mat2 getid -b 32|64 -r id seq

このプログラムはTinyMT のパラメータセットからidと内部カウンタを計算します。 -r が指定されると逆に、id と内部カウンタからパラメータのmat1 と mat2 を計算します。
TinyMTDC の出力の最後の行のmat1 と mat2 を引数にして、gitid を実行し得られた seq の値から１を引いて TinyMTDC の -s パラメータに指定することによって、中断したパラメータ生成を続行することが出来ます。

TinyMTDC の出力形式

TinyMTDC は CSV形式の出力をします。ここでは出力形式の説明をします。

Column or Row	Description
The first row	# charactristic, type, id, mat1, mat2, tmat1, weight, delta 最初の行は常にこのとおりの出力をします。この行は以下の出力の各カラムのタイトルになっています。
1st column charactristic	第１カラムは特性多項式を示しています。この特性多項式は0と1を係数とする 127次の既約多項式です。最高次の係数が最初にくるように（つまり降べきの順に） 16進数で表示しています。127次の多項式は128個の係数を持つので最初の16進数は 8以上の数になっています。また既約であることから、最後の16進数は奇数になっています。
2nd column type	第2カラムはこのパラメータセットが32bit版TinyMT用か、64bit版用かを示しています。
3rd column id	第3カラムはユーザーが指定したIDを出力しています。
4th column mat1	第4カラムはmat1 パラメータを示しています。このカラムは16進数で表示されています。
5th column mat2	第5カラムはmat2 パラメータを示しています。このカラムは16進数で表示されています。
6th columns tmat	第6カラムは tmat パラメータを示しています。このカラムは16進数で表示されています。
7th column weight	第7カラムは特性多項式のハミングウェイトを示しています。項数128の半分の64程度から大きく離れていないことが望ましいと言われています。
8th delta	第8カラムは TinyMTDC の内部評価値 total dimension defectを示しています。 0 が最もよい内部評価値となります。この値が小さくなるように tmat を選んでいます。

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