広島大学 トポロジー・幾何セミナー 講演者アブストラクト

　　

• 1／20 ： 佐治 健太郎 氏 −モンド特異点の判定法−

  可微分写像芽の同値関係として自然なものに A 同値と呼ばれるものがある。これは局所座標変換で移りあうというもので、 可微分写像芽の A 同値に関する研究は多く行われている。 また、与えられた写像芽がどの同値類に属するかを問う、 認識問題も多く研究されている。特異点は幾何学の様々な場面で現れるが、 そのような応用を考える際、なるべく簡単に写像芽を認識できると便利である。 本講演ではモンド特異点と呼ばれる特異点に関する認識問題について述べる。
  　　

• 12／16 ： 中西 敏浩 氏 −McShaneの恒等式再論−

  G. McShaneの論文``Weierstrass points and simple geodesics'', Bull. London Math. Soc., 36, (2004), 181-187, にある恒等式の見かけには異なる証明を与える。 我々の議論の基礎となるのは，1点穴あきトーラス群 $G=\langle a, b\rangle$の 標準生成系$a$と$b$の軸の交点を$O$とするとき，$O$を通る軸を持つ 単純双曲元(トーラス上の単純閉曲線に対応する元)の$a$, $b$の語による特徴づけと， Birman-Series集合の補集合の成分(gap)たちを$G$の$a, b$の回文的生成系の集合に 対応させることである。
  　　

• 12／9 ： 矢口 義朗 氏 −Hurwitz orbits of braid systems of "standard" type, and its application to braided surface−

  Hurwitz作用は低次元トポロジーで頻繁に見られるものである。 今回は4次元に埋め込まれたbraided sufaceのモノドロミーシステムとして 見ることができる，ブレイド群の直積の元で， 標準的なものにおける軌道について講演する。 特に2004年のStephan Humphriesの論文の証明方法を 拡張したものであることに触れる。
  　　

• 11／21 ： 小沢 誠 氏 −Essential surfaces derived from knot and link diagrams−

  結び目（及び絡み目）正則図形から、交代結び目、正結び目、モンテシノス結び目、 充足結び目、等質結び目、代数結び目などの結び目クラスが定義され、 それらの補空間内の本質的曲面が研究されている。 本講演では、これらの結び目クラスを拡張した、σ充足かつσ等質結び目、及び 代数的交代結び目を定義し、それらの補空間内の本質的曲面について述べる。
  参考資料：
  http://www.komazawa-u.ac.jp/~w3c/research/pdf/hiroshima20081121.pdf
  　
　　

• 11／18 ： 井上 歩 氏 −Quandle and hyperbolic volume−

  この講演では，双曲結び目の体積がカンドルコサイクル不変量であることを示します． またこの不変量を用いて，双曲結び目の可逆性及び(+)/(-)もろ手型の有無が 完全に判定できることを紹介します．
  　
　　

• 11／14 ： Stanislaw Spiez 氏 −Embedding of compacta into products−

  Some results, obtained jointly with A. Koyama and J.Krasinkiewicz, on compacta embeddable into Cartesian products of compacta are presented. We pay special attention to compacta embeddable into products of curves (i.e. 1-dimensional continua). Our investigations have been inspired by some results in this direction established by Borsuk, Cauty, Dydak, Koyama and Kuperberg. We prove that if $X$ is an $n$-dimensional compactum which admits an essential map $X\to{\bf S}^n$ into the $n$-sphere (equivalently, the {\v C}ech cohomology $H^n(X) \neq 0$) and embeds in a product of $n$ curves, then there exists an algebraically essential map $X\to{\bf T}^n$ into the $n$-torus. The same is true if $X$ embeds in the $n$th symmetric product of a curve. The existence of such a mapping $X\to{\bf T}^n$ is equivalent to the existence of elements $a_1,\cdots,a_n\in H^1(X)$ whose cup product $a_1\cup\cdots\cup a_n\in H^n(X)$ is non-zero, and implies that $\rank H^1(X)\geq n$ and $\cat X>n$. In particular, ${\bf S}^n$, $n\geq 2$, is not embeddable in the $n$th symmetric product of any curve. The case of ${\bf S}^2$ answers in the negative a question of Illanes and Nadler. Also, it follows that neither the projective plane nor the Klein bottle can be embedded in the second symmetric product of any curve. We introduce some new classes of $n$-dimensional continua and show that embeddability of locally connected {\it quasi $n$-manifolds} into products of $n$ curves also implies $\rank H^1(X)\geq n$. Applying this (with $n=2$) to either the "Bing house" or the "dunce hat" we infer that neither is embeddable in a product of two curves. So, each is a 2-dimensional contractible polyhedron not embeddable in any product of two curves. On the other hand, we show that any collapsible 2-dimensional polyhedron (e.g. the cone over a graph) can be embedded in a product of two {\it trees} (i.e. acyclic graphs). We answer a question posed by Cauty proving that closed surfaces embeddable in products of two curves can be also embedded in products of two graphs. We prove that no closed surface $\neq{\bf T}^2$ lying in a product of two curves is a retract of that product.
  　
　　

• 11／11 ： 松本 堯生 氏 −On the smooth unknotting conjecture in dimension four−

  Any 2-knot is represented by closing a 2-braid. By generalizing the Markov type theorem due to Kamada and using the deformation theory of chart diagrams, the conjecture will be reduced to a special case. We will discuss also this special case as the final step of the proof.
  　
　　

• 11／4 ： Andreas Kollross 氏 −Manifolds with large isotropy groups−

  It is a well known classical result that two-point homogeneous spaces, i.e. Riemannian manifolds where any ordered pair of equidistant points can be mapped to any other such pair by an isometry, are exactly the rank-one symmetric and Euclidean spaces. Two-point homogeneity is equivalent to the condition that the isotropy action at any point is of cohomogeneity one. Thus, Riemannian manifolds whose isotropy actions are of cohomogeneity one are well known and it is a natural generalization to ask which Riemannian manifolds have isotropy actions of low cohomogeneity. We present a classification of Riemannian manifolds whose isotropy groups act with cohomogeneity less than or equal to two. Joint work with Evangelia Samiou.
  　
　　

• 10／28 ： 市原 一裕 氏 −On cyclic and finite surgery on knots (partially joint work with In Dae Jong (Osaka City University))−

  We will consider Dehn surgeries on hyperbolic knots in the 3-sphere yielding 3-manifolds with cyclic or finite fundamental groups. Actually we will show the following; 1) Suppose that $\gamma$-Dehn surgery on a hyperbolic knot in the 3-sphere yields a 3-manifold with cyclic or finite fundamental group, and there exists an essential surface of genus $g$ with boundary slope $\beta$ in the exterior of the knot. Then the inequality $ | \gamma - \beta | \leq 4 g - 1 $ always holds. This gives an extension of a part of the conjecture raised by Goda and Teragaito. 2) (joint work with In Dae Jong) Suppose that a hyperbolic Montesinos knot admits a non-trivial Dehn surgery yielding a 3-manifold with cyclic fundamental group. Then the knot must be equivalent to the (?2,3,7)-pretzel knot and the surgery slope is 18 or 19. Suppose that a hyperbolic Montesinos knot admits a non-trivial Dehn surgery yielding a 3-manifold with acyclic finite fundamental group. Then the knot must be equivalent to either the (?2,3,7)-pretzel knot and the surgery slope is 17, or the (?2,3,9)-pretzel knot and the surgery slope is 22 or 23. This gives a complete classification of the Dehn surgeries on Montesinos knots which yield manifolds with cyclic or finite fundamental groups.
  　
　　

• 10／21 ： 廣瀬 進 氏 −大きな周期の周期的写像について−

  向き付けられた種数 g の閉曲面上の向きを保つ周期的写像の 周期が，4g+2 以下である事が Wiman によって示されている． それからほぼ１００年後，Kulkarni により，g > 3 の場合， 周期 4g 以上の周期的写像がある2種類の周期的写像の べきとなることが示された． ここでは，g > 12 の場合に，周期 3g 以上の周期的写像が ある4種類の周期的写像のべきとなっていることを示す．
  　

• 10／14 ： Sungbok HONG 氏 −Topological characterizations of certain limit points−

  We will discuss a certain type of limit points of the universal covering group of the hyperbolic manifold which are defined purely in terms of local topological dynamics of the action on the sphere at the infinity. Those are analogous to characterization of conical limit points.
  　

• 7／22 ： 田中 心 氏 −絡み目射影図の補領域について−

  この研究は, Colin C. Adams 氏(Bronfman Science Center, Williams College)と新庄玲子 氏(大阪市立大学数学研究所) との共同研究である. 講演者たちの知る限り, 絡み目射影図の補領域の形や個数に関する 研究は少ないように思われる. 本講演では, "ある特徴"を持った絡 み目図式を導入する. これは, 絡み目を空間グラフとして捉える事 により得られる. この図式を用いて, 絡み目射影図の補領域の形や 個数に関する考察をし, 得られた結果を紹介する.
  　

• 7／15 ： 逆井 卓也 氏 −Homology cylinders in knot theory−

  This is a joint work with Hiroshi Goda (Tokyo University of Agriculture and Technology). Two concepts, sutured manifolds and homology cylinders, treating cobordisms between surfaces are compared. The former ones defined by Gabai are useful to study knots and 3-dimensional manifolds, and the latter are in an important position in the recent theory of the mapping class group, homology cobordisms of surfaces and finite-type invariants. In my talk, we first introduce "homological fibered knots" to relate them. Then we use this relationship to give an application to a lower estimate of the handle number (Morse-Novikov number) of a homological fibered knot with a minimal genus Seifert surface.
  　

• 7／8 ： Jair Remigio Juarez 氏 −On the Heegaard genera of coverings−

  A Seifert manifold M is a closed 3-manifold which is a disjoint union of circles (fibers). Seifert manifolds play an important role in low-dimensional topology because there is a classification theorem for them. This classification was made by using the ``Seifert symbol'' associated to each Seifert manifold.\\ In fact, Boileau and Zieschang computed $h(M)$ for almost all the orientable Seifert manifolds (where $h(M)$ denotes the Heegaard genus of $M$) and the expression for $h(M)$ depends on the ``Seifert symbol'' of $M$.\\ On the other hand, it is well known that if $\varphi:\tilde{M}\to M$ is a covering of $M$ branched along fibers, then $\tilde{M}$ is a Seifert manifold too. An interesting question arising from here is\ldots What Seifert manifold $\tilde{M}$ is?.\\ In this talk, we will find the Seifert symbol for $\tilde{M}$ when $M$ is an orientable Seifert manifold. Furthermore, we will compare the Heegaard genera of the coverings of $M$ branched along fibers against the Heegaard genus of $M$, getting examples of Seifert manifolds $N$ with infinite fundamental group that admit coverings $\tilde{N}$ satisfying that $h(\tilde{N}) 　

• 7／1 ： 佐藤 進 氏 −Triviality of 2-knot with one or two sheets−

  ２次元結び目のシート数は、１次元結び目の交点数に対応する基本的不変量のひとつである。 講演では、シート数が１である必要十分条件は２次元結び目が自明であること、 また、シート数が２である２次元結び目は存在しないことを示す。
  　

• 6／24 ： 石川 昌治 氏 −Quasipositive ファイバー曲面の tight 性とその応用−

  L.Rudolph は複素平面曲線から (strongly) quasipositive リンクを導入し、さらに quasipositive 曲面を定義した。Quasipositive 曲面は、その部分曲面がすべて quasipositive になるという性質があり、ある種の rigidity を持つ面白い研究対象といえる。M.Hedden は３次元球面のオープンブック分解がtight な接触構造と両立することと、そのファイバー曲面が quasipositiveであることが同値であることを、ホッププラミングを使って証明した。講演者は S.Baader 氏との共同研究で、Hedden の結果のホッププラミングを使わない直接的な別証明を与えた。講演では quasipositive 曲面を中心に上の結果を解説し、また、その応用として、ケーブルリンクの接触構造に関する一考察を紹介する。
  　

• 6／17 ： 島田 伊知朗 氏 −Zariski-van Kampenの定理の一般化とグラスマン双対多様体−

  Zariski-van Kampenの定理の一般化を定式化して証明し，応用として，グラスマン双対多様体の補集合の基本群に対する超平面切断定理を示し，Auroux,  Donaldson, Katzarkov,  Yotovの予想と，コンパクトリーマン面のブレイド群の関係について述べる．
  　

• 6／3 ： Ser Peow Tan 氏 −SL(2,C) characters with a rational end invariant−

  An essential simple closed curve on the one-holed torus is a rational end invariant of an SL(2,C) character if its image is elliptic in SL(2,C). We study the set of SL(2,C) characters of the one-holed torus which has a fixed simple closed curve as an end invariant, and show that the slices where this is the only end invariant has strikingly different behavior, depending on whether the elliptic element is a rational or irrational rotation. In the former case, the slice has fractal boundary, in the latter case the boundary is smooth. This is joint work with Haibin Wang from NUS.
  　

• 5／27 ： 田丸 博士 氏 −非コンパクト等質 Einstein 多様体について−

  非コンパクト等質 Einstein 多様体は全て可解多様体である, という予想はAlekseevskii 予想と呼ばれており, 現在までのところ反例は見付かっていない.そこで, 非コンパクト等質 Einstein 多様体の研究に於いて, 以下は自然な問題である: (1) Einstein 可解多様体を構成する問題, (2) 知られている Einstein可解多様体の性質を調べる問題, (3) リー群が左不変 Einstein 計量を持つための障害に関する問題. 本講演ではこれらの問題に関して, 既知の結果や我々の最近の研究の結果を紹介すると共に, いくつかの未解決問題とその解決のための足がかりについて述べる.
  　

• 5／20 ： 酒井 高司 氏 −複素球面内の特殊Lagrange部分多様体の構成について−

  ある種の無限小の対称性を持つ極小部分多様体としてaustere部分多様体の概念が知られている。本講演ではまずaustere部分多様体の対称性を大域化した部分多様体のクラスとして弱鏡映部分多様体の概念を与え、Riemann対称空間の線形イソトロピー表現の軌道で球面内のaustere部分多様体と弱鏡映部分多様体になるものの分類結果をを紹介する。元々austere部分多様体の概念はC^n内の特殊Lagrange部分多様体を構成するためにHarvey-Lawsonによって導入された。階数1のコンパクト対称空間の接ベクトル束にはStenzel計量と呼ばれるCalabi-Yau計量が入ることが知られている。今回は球面の接ベクトル束の場合にStenzel計量に関する特殊Lagrange部分多様体のいくつかの構成法について解説する。これにより我々が分類したaustere軌道から、球面の接ベクトル束内の特殊Lagrange部分多様体の具体例が得られる。
  　

• 5／14 ： Joseph Maher 氏 −Random walks on the mapping class group−

  The mapping class group of a surface is the group of all diffeomorphisms of the surface to itself, up to isotopy. If the surface is a disc with punctures, then this gives rise to the braid groups. We will discuss various asymptotic properties of random walks on these groups, i.e. what happens as the length of the random walk tends to infinity? In particular, the probability that a random walk of length n is pseudo-Anosov tends to one, as n tends to infinity, and if you use a random walk on the mapping class group of a closed surface as a gluing map for a Heegaard splitting, the probability that you get a hyperbolic manifold tends to one.
  

• 5／13 ： Joseph Maher 氏 −Heegaard splittings and virtual fibers−

  We show that if a manifold has infintely many covers of bounded Heegaard genus, then the manifold is virtually fibered. This generalizes a result of Lackenby.
  

• 4／30 ： 矢口 義朗 氏 −4次のブレイド群のHurwitz作用について−

  m次ブレイド群のｎ個の直積集合には，ｎ次のブレイド群の作用（Hurwitz作用と呼ばれる）が与えられる。今回は，5次ブレイド群の4個の直積集合 のある標準的な元におけるHurwitz作用のisotropy群と，それで割った剰余類の計算結果、および組み合わせ的な計算方法を紹介する。
  
  

• 4／22 ： 西信 洋和 氏 −Non-commutativity of self-homotopy groups of some simple p-compact groups−

  compact Lie群の自己ホモトピー群の非可換性についてはある程度知られている。 本講演では、compact Lie群の一般化であるp-compact群の自己ホモトピー群の非 可換性について得られた結果を報告する。