数理解析学 A・数理解析基礎講義 A

(平成 31 年度前期,第 1 ターム)


数理解析学 A・数理解析基礎講義 A 期末試験返却について (6/10 更新)
6月9日(日)に行った期末試験の答案を滝本の研究室(C603)にて返却いたします.
学生本人であることを確認の上,直接答案を手渡す方法で返却を行います.
特別な理由のない限り代理の方への返却も行いませんのでご注意下さい.

ただし,不在の場合もありますので,確実に答案を受け取りたい方は事前にメール等で連絡されることをお勧めします.
10月25日(金)までに取りに来なかった場合は,返却を希望しなかったものとして取り扱います.

更新情報・連絡事項

●第 1 回(2019.4.9)

・ 今回は導入
・ Fourier 級数,Fourier 変換とはいかなるものか
・ シラバス PDF file (数理解析学 A のシラバスにリンクされていますが,数理解析基礎講義 A も内容は同じです)
・ 配布プリント(「平成 31 年度 数理解析学 A・数理解析基礎講義 A について」) dvi file PDF file
・ レポート問題 No.1 dvi file PDF file (提出〆切は 4/11 の 16:30,提出場所は数学事務室内レポートボックス)

●第 2 回(2019.4.12)

・ レポート No.1 を返却しました
・ Lp(Ω) の定義
・ Hölder の定理,Minkowski の定理
・ Lp(Ω) の完備性(補足プリント No.2)はできずに終わったので次回に
・ レポート問題 No.1 解説 dvi file PDF file
・ 補足プリント No.1 dvi file PDF file
・ 補足プリント No.2 dvi file PDF file
・ 演習問題 No.1 dvi file PDF file

●第 3 回(2019.4.16)

・ Lp(Ω) の完備性(補足プリント No.2)
・ L(Ω) の定義
・ L1(RN) 関数に対する Fourier 変換の定義とその例
・ convolution の定義と Young の定理(最も簡単な場合についてステートメントを述べただけ)
・ 演習問題 No.2 dvi file PDF file

●第 4 回(2019.4.19)

・ convolution に関する Young の定理のつづき
・ C0(RN) と C(RN) の定義
・ 変分法の基本補題
・ 1≦p<∞ ならば C0(RN) は Lp(RN) 内で稠密(証明は補足プリント No.3)
・ C0(RN) の定義だけしたが,Schwartz の急減少関数空間 S(RN) の定義は次回に
・ 補足プリント No.3 dvi file PDF file
・ 演習問題 No.3 dvi file PDF file

●第 5 回(2019.4.23)

・ C0(RN) の定義と Schwartz の急減少関数空間 S(RN) の定義(つづき)
・ C0(RN) に属する関数と C0(RN) に属する関数との convolution
・ C0(RN) に属する関数と S(RN) に属する関数との convolution
・ C0(RN) は C(RN) 内で稠密
・ C0(RN) は Lp(RN) (1≦p<∞) 内で稠密
・ L1(RN) 関数の Fourier 変換は有界な連続関数
・ L1(RN) 関数同士の convolution の Fourier 変換(証明がほんのちょっとだけ残った)
・ 演習問題 No.4 dvi file PDF file

●第 6 回(2019.4.26)

・ L1(RN) 関数同士の convolution の Fourier 変換(証明の残り)
・ Fourier 変換と微分
・ S(RN) に属する関数の Fourier 変換は S(RN) に属する
・ Fourier 変換に関する Riemann-Lebesgue の定理
・ L1(RN) 関数の Fourier 変換に関する反転公式
・ Fourier 変換を取るという写像は L1(RN) 上で単射
・ Fourier 変換を取るという写像は S(RN) から S(RN) への全単射
・ 応用例を 2 つ
・ 演習問題 No.5 dvi file PDF file
・ レポート問題 No.2 を配布しました.受け取っていない方は必ず滝本の研究室(C603)まで取りにいらしてください.

●第 7 回(2019.5.7)

・ 応用例のつづき
・ Fourier 変換を取るという写像は L1(RN) から C(RN) への全単射ではない
・ L2(RN) 関数に対する Fourier 変換の定義
・ Plancherel の定理(証明の途中で終了)
・ 演習問題 No.6 dvi file PDF file

●第 8 回(2019.5.10)

・ Plancherel の定理
・ Fourier 変換を取るという写像は L2(RN) から L2(RN) への全単射
・ L2(RN) 関数に対する Fourier 変換の具体例
・ Plancherel の定理の応用
・ 熱方程式の基本解
・ 演習問題 No.7 dvi file PDF file

●第 9 回(2019.5.14)

・ 上半平面で正則な関数
・ 内積空間の定義
・ 正規直交系とその例
・ 演習問題 No.8 dvi file PDF file

●第 10 回(2019.5.17)

・ Schwarz の不等式
・ Hilbert 空間の定義
・ Hilbert 空間内の閉凸集合には,ノルム最小の元がただ 1 つ存在する
・ 直交射影,直交補空間
・ Bessel の不等式
・ 完全正規直交系(正規直交基底)と Parseval の等式(定理のステートメントのみ)
・ 演習問題 No.9 dvi file PDF file

●第 11 回(2019.5.21)

・ 完全正規直交系(正規直交基底)と Parseval の等式
・ Schmidt の直交化
・ 無限次元可分な Hilbert 空間には完全正規直交系が存在する
・ L2(0,2π) において {einx/√(2π)} が完全正規直交系であることの証明の途中で終了
・ それを認めると,L2(0,2π) と l2 は Hilbert 空間として同型であることが証明できる
・ 演習問題 No.10 dvi file PDF file

●第 12 回(2019.5.24)

・ L2(0,2π) において {einx/√(2π)} が完全正規直交系であることの証明の続き
・ Weierstrass の多項式近似定理
・ Fourier 級数展開の例
・ 演習問題 No.11 dvi file PDF file

●第 13 回(2019.5.28)

・ 多変数 Fourier 級数
・ Fourier 級数が一様絶対収束するための十分条件
・ Fourier 級数に関する Riemann-Lebesgue の定理
・ 演習問題 No.12 dvi file PDF file

●第 14 回(2019.5.31)

・ Fourier 級数が各点収束するための十分条件
・ 補足プリント No.4 PDF file
・ 演習問題 No.13 dvi file PDF file

●第 15 回(2019.6.4)

・ Poisson の和公式
・ 2 次元単位円板上の Laplace 方程式の Dirichlet 境界値問題
・ 次回は期末試験を行います
・ 演習問題 No.14 dvi file PDF file

●第 16 回(2019.6.9)

・ 期末試験を実施しました <-- 答案返却中! (6/10)


ktakimoto@ hiroshima-u.ac.jp (@ の後ろのスペースは除いて下さい)