2004 年度幾何学 A 担当 : 田丸

0 幾何学 A について

今年度の幾何学 A および同演習では曲線や曲面を扱います. 曲線や曲面は目で見ることが出来ますし, 身の回りにいくらでもあります. 最近ではコンピュータを使って簡単に曲面の絵を描くことができます. しかし, この講義では, 単に絵を描ければ良しではなく,

曲線や曲面を「数学的に」扱うことを目標とします.

数学的に扱うことによって, 曲線や曲面に関する様々な問題や疑問の解決が可能になります. 例えば, 道路をどこに設置するかというのは平面曲線の問題です（高低差も考慮すれば空間曲線ですが） . 地球の表面は大雑把に言って球面ですし, 地図を作成することは球面から平面への写像を構成することです. シャボン玉が丸くなるのにも, マンホールの蓋が円形であることにも数学的な理由があります. また, まだ未解決の問題もいくつもあります.

講義のテキストおよび参考書として以下のものを指定します:

教科書：「曲線と曲面」（梅原雅顕・山田光太郎共著, 裳華房）参考書：「多様体」（荻上紘一著, 共立出版）

もちろん購入を強制するものではありませんが, どちらも非常に良い本ですので, この講義の履修が終わった後でも参考になるかも知れません. ちなみに講義は教科書に完璧に沿って行われる訳ではありません.

成績の評価基準は唯一つ, 「曲線と曲面を数学的に扱うことが出来るかどうか」 . それを確かめる為に試験およびレポートを課す予定です. 数学的に扱うとはどういうことか, は一言では説明できません. むしろそれが, これから半年間の講義に出席して（あるいは自力で本を読んで）理解して欲しいところです.

講義中に何か質問・コメント等がありましたら, 遠慮無く言って下さい. むしろ言ってくれると助かります. 講義時間以外でも遠慮無くどうぞ. 下記のアドレスに e-mail を送るなり研究室に来るなりして適当に捕まえて下さい. こちらからのテスト・レポート・休講等の連絡は, 基本的に授業時間中に全て伝えます. また, 各種お知らせ及びプリント等の公開を下記の web page で行う予定です.

田丸博士（たまるひろし）

研究室：理学部 C-613

e-mail ： tamaru ＠ math.sci.hiroshima-u.ac.jp

url ： http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/˜ tamaru/index-j.html

1 曲線

まずは曲線について, より正確に言うと平面曲線と空間曲線について考えます. 全体の見通しを良くする為, 何を調べるかをまずまとめておきます.

(1) 平面曲線とは何か（定義）

「y = f(x) のグラフ」は平面曲線の重要な例ですが, それだけとは限りません. 円周 x^{2} + y^{2} = 1 なども平面曲線ですし, そのような簡単な形では表せない曲線もたくさんあります. しかし, どこまでが平面曲線なのでしょうか. 交点を持っていても曲線？ 尖っている点があっても曲線？ xy = 0 をみたす点の全体は曲線？

(2) 平面曲線の概形を書く

「y = f(x) のグラフを書け」という問題は高校でもお馴染みです（微分して増減表を書くと概形が分かるのでした） . では, 2 変数関数のグラフ F (x, y) = 0 を書くにはどうすれば良いでしょうか（これは解析学でやったかも知れませんが） . もっと複雑な形の曲線の概形を書くには？

(3) 平面曲線の曲がり具合を調べる（曲率）

平面曲線の形をより詳しく調べる為, 曲線の曲がり具合を表す量（曲率）を定義します. 例えば y = x^{2} のグラフで, 曲がり方が一番大きいのはどこでしょうか（明らかに原点が一番曲がっているように見えますが, どうやって確かめれば良いでしょうか） . また, 道路などで見かける「R = 400m」と言う標識は道路の曲がり具合を表していますが, これは曲率を別の方法で表したものです.

(4) 与えられた性質を持つ平面曲線の構成

これまでは与えられた平面曲線を調べていましたが, ここでは「ある条件をみたす曲線を作る」という問題を考えます. 全ての点で曲がり具合が同じ曲線を作れ, 幅がどこでも一定な曲線を作れ（定幅曲線） , 与えられた曲率をもつような曲線を作れ, 等々. 例えば, 高速道路の出入口付近の道の形は, ハンドル操作が自然になるような形をしています（ハンドルを徐々に切って徐々に戻せば良いようになっています, 数学的に言うと, 曲率が徐々に大きくなって徐々に小さくなるような曲線） . そのような曲線を式で表せるでしょうか.

(5) 空間曲線

平面曲線を一般化して, 空間曲線（すなわち ℝ^{3} の中の曲線）を考えます. 空間曲線に関しても, 平面曲線と殆ど同様のことを調べていきます. 定義は何か, 曲がり具合を表す量を定義せよ, 与えられた曲率を持つ空間曲線を作れ, 等々.

1.1 平面曲線の定義

I を ℝ の区間とする. I は開区間や閉区間の場合もあれば ℝ そのものの場合もある.

定義 1.1.1 γ : I → ℝ^{2} を連続写像とする. γ またはその像 γ(I) がなめらかな平面曲線であるとは, 次を満たすこと :

(1) γ は C^{∞}-級, (2) ∀t ∈ I, \frac{dc}{dt}(t) ≠ (0, 0).

また, γ またはその像 γ(I) が区分的になめらかな平面曲線であるとは, 次を満たすこと :

(1) γ は区分的に C^{∞}-級, (2) ∀t ∈ I, γ が t で微分可能ならば\frac{dc}{dt}(t) ≠ (0, 0).

平面曲線 γ(I) に対して関数 γ を助変数表示またはパラメータ表示と呼ぶ. 助変数表示は一意ではない.

定義 1.1.2 C^{∞}-級関数 f : I → ℝ に対し, 集合 {(x, f(x)) | x ∈ I} を y = f(x) のグラフと呼ぶ. また, 集合 {(f(y), y) | y ∈ I} を x = f(y) のグラフと呼ぶ.

命題 1.1.3 C^{∞}-級関数 f : I → ℝ に対し, y = f(x) のグラフおよび x = f(y) のグラフはなめらかな平面曲線.

平面曲線に対し, y = f(x) のような表示を陽関数表示といい, F (x, y) = 0 のような表示を陰関数表示という. 一般に F (x, y) = 0 で表された図形は平面曲線であるとは限らない.

定理 1.1.4 (陰関数定理) C^{∞}-級関数 F : ℝ^{2} → ℝ に対し, F (x, y) = 0 で表される図形とその上の点 (x_{0}, y_{0}) を考える.

(1) \frac{∂}{∂x}F (x_{0}, y_{0}) ≠ 0 なら F (x, y) = 0 は (x_{0}, y_{0}) の近傍で x = f(y) のグラフで書ける, i.e., ∃U : (x_{0}, y_{0}) の近傍, ∃f : I → ℝ : C^{∞} s.t. ∀(x, y) ∈ U, F (x, y) = 0 ⇔ x = f(y).

(2) \frac{∂}{∂y}F (x_{0}, y_{0}) ≠ 0 なら F (x, y) = 0 は (x_{0}, y_{0}) の近傍で y = f(x) のグラフで書ける.

F (x, y) = 0 は (\frac{∂}{∂x}F (x_{0}, y_{0}), \frac{∂}{∂x}F (x_{0}, y_{0})) ≠ (0, 0) を満たす点の近傍では関数のグラフで表せる, すなわちなめらかな平面曲線である. (\frac{∂}{∂x}F (x_{0}, y_{0}), \frac{∂}{∂x}F (x_{0}, y_{0})) = (0, 0) を満たす点 (x_{0}, y_{0}) のことを特異点と呼ぶ.

1.2 平面曲線の概形

我々は y = f(x) や x = f(y) のグラフの概形を書く方法を知っている. F (x, y) = 0 の概形は, 陰関数定理を用いてグラフで表せば（陽関数表示すれば） , 書くことが出来る. 助変数表示された曲線も, 以下で示すように, 局所的にはグラフで表される（このことを用いて概形を書くことが出来る） .

定理 1.2.1 なめらかな平面曲線 γ : I → ℝ^{2} : t ↦ (x(t), y(t)) に対し,

(1) \frac{d}{dt}x(t_{0}) ≠ 0 なら γ(t) は t_{0} の近傍で y = f(x) のグラフで書ける, i.e., ∃I′ : t_{0}の近傍 , ∃x^{−1} : x(I′) → I′ : x の逆関数 s.t. f := y ∘ x^{−1}, γ(I′) = {(s, f(s)) | s ∈ x(I′)}.

(2) \frac{d}{dt}x(t_{0}) ≠ 0 なら γ(t) は t_{0} の近傍で y = f(x) のグラフで書ける.

1.3 平面曲線の曲率

定義 1.3.1 平面曲線 γ : I → ℝ^{2} の γ(t) での曲率κ(t) を次で定義: κ(t) := det(γ′, γ′′)/|γ′|^{3}.

平面曲線の助変数表示は一意ではない. しかし, 曲線の曲がり具合は助変数表示に依らない（どのような助変数表示をしても同じ曲率になる）のが自然. まずそれを調べる. 定義 1.3.2 γ : I → ℝ^{2} を平面曲線, t : I′ → I を単調増加な C^{∞}-同相とする. このとき, γ̃ := γ ∘ t : I′ → ℝ^{2} を γ の t によるパラメータ変換と呼ぶ.

もちろん γ̃ は平面曲線であり, γ と同じ曲線（の異なる助変数表示）を与える. 命題 1.3.3 平面曲線 γ : I → ℝ^{2} の曲率 κ_{γ}(t) は, パラメータ変換に依らない, i.e., ∀γ̃ = γ ∘ t : I′ → ℝ^{2} : パラメータ変換, ∀u ∈ I′, κγ̃(u) = κ_{γ}(t(u)).

次に, 何故これで曲がり具合が分かるか, について考える. 「κ は決まった速度で走った時の加速度（横Ｇ）の大きさを表す」というのが, 一つの説明. 定義 1.3.4 平面曲線 γ : I → ℝ^{2} が弧長パラメータ表示とは, |γ′| = 1 が成立すること. 命題 1.3.5 全ての平面曲線 γ : I → ℝ^{2} は, パラメータ変換によって弧長パラメータ表示できる, i.e., ∃t : I′ → I : パラメータ変換 s.t. γ̃ := γ ∘ t : 弧長パラメータ表示.

弧長パラメータ表示とは「曲線の上を速度 1 で走る」ことに対応し, 命題は「曲線の上を速度 1 で走ることが出来る」という当たり前のようなことを主張している. 定義 1.3.6 平面曲線の弧長パラメータ表示 γ : I → ℝ^{2} : s ↦ (x(s), y(s)) に対し, e(s) := (x′(s), y′(s)) を単位接ベクトル, n(s) := (−y′(s), x′(s)) を単位法ベクトルと呼ぶ. 命題 1.3.7 弧長パラメータ表示された平面曲線 γ に対し, γ′′(s) = κ(s) · n(s).

何故上で定義した曲率で曲がり具合が分かるか, に対するもう一つの説明は, 「接している円の半径を表すから」である. 定義 1.3.8 曲線 γ_{1}, γ_{2} が点 p で 2 次の接触をするとは, 適当なパラメータ変換の元で次が成立すること: γ_{1}(0) = γ_{2}(0) = p, γ′_{1}(0) = γ′_{2}(0), γ′′_{1}(0) = γ′′_{2}(0). 定義 1.3.9 弧長パラメータ表示された平面曲線 γ に対し, γ(s) での曲率円を次で定義:

(i) κ(s) ≠ 0 のとき, 中心が γ(s) + n(s)/κ(s), 半径が 1/|κ(s)| の円, (ii) κ(s) = 0 のとき, γ(s) での接線.

命題 1.3.10 平面曲線 γ と ∀s に対し, γ(s) での曲率円は γ(s) で 2 次の接触をする.

すなわち曲率が κ である点では, 接する円の半径は 1/|κ| である. 道路で見掛ける「R = 400m」などの数字は, 1/|κ| を表している.

2004 年度幾何学 A (担当：田丸) - 4 -

1.4 平面曲線の基本定理

前節では曲線に対して曲率を定義したが, ここでは「与えられた曲率を持つ曲線が存在する」ことを示す. さらに, 曲率は回転と平行移動で不変であること, 曲率が同じ曲線は本質的に同じであること, を示す. 定理 1.4.1 (曲線論の基本定理)(1) ∀κ : I → ℝ : C^{∞}, ∃γ : I → ℝ^{2} : 曲線の弧長パラメータ表示 s.t. κ = κ_{γ}. (2) γ_{1}, γ_{2} を曲線の弧長パラメータ表示とする. 両者の曲率が一致するための必要十分条件は γ_{1} と γ_{2} は回転と平行移動で互いに写りあうこと.

(1) の証明は, γ を以下のように定めれば良い:

γ(s) := ∫_{0}^{s} (cos(∫_{0}^{t} κ(u)du), sin(∫_{0}^{t} κ(u)du)) dt.

例 1.4.2 曲率 κ(s) = s を持つ曲線をクロソイド曲線と言う.

(2) の必要性を証明する為, 「回転と平行移動」を定式化する. 定義 1.4.3 次で定義される群を ℝ^{2} の回転群または 2 次特殊直交群と呼ぶ:

SO(2) := \{( \begin{matrix}cos θ & − sin θ \\ sin θ & cos θ \end{matrix} ) | θ ∈ ℝ\} .

また, SO(2) と ℝ^{2} の平行移動で生成される群を運動群と呼び M_{2} で表す.

M_{2} の各元は g = (A, v) と表すことができ, g · z := Az + v によって ℝ^{2} の合同変換を与える. また (g · γ)(s) := g · γ(s) によって曲線を曲線に写す. 命題 1.4.4 M_{2} の作用は曲率を不変にする, i.e., ∀g ∈ M_{2}, ∀γ : 曲線, κ_{γ} = κ_{g·γ}.

次に (2) の十分性を示すが, 証明には次の公式を使う. 補題 1.4.5 (フルネの公式)弧長パラメータ表示された曲線 γ と単位接ベクトル e(s), 単位法ベクトル n(s) に対し,

(e(s), n(s))′ = (e(s), n(s)) ( \begin{matrix}& −κ(s) \\ κ(s) \end{matrix} ) .

また, 定義より (e(s), n(s)) ∈ SO(2) であることが直ちに分かる. これらを使って曲線論の基本定理 (2) は証明される.

1.5 空間曲線

空間曲線, ℝ^{3} の中の曲線について考える. 空間曲線に対して「曲率」「捩率」という量を定義する. これらは回転と平行移動によって不変であり, さらに平面曲線の基本定理と同様のことが成立する.

定義 1.5.1 連続写像 γ : I → ℝ^{3} またはその像 γ(I) が（区分的に）なめらかな空間曲線とは, 次を満たすこと :

(1) γ は（区分的に） C^{∞}-級, (2) ∀t ∈ I, （t で微分可能ならば）\frac{dc}{dt}(t) ≠ (0, 0).

定義 1.5.2 空間曲線 γ に対し, γ(t) における曲率 κ(t) と捩率 τ(t) を次で定義する:

κ(t) := \frac{|γ′(t) × γ′′(t)|}{|γ′(t)|^{3}}, τ(t) := \frac{det(γ′(t), γ′′(t), γ′′′(t))}{|γ′(t) × γ′′(t)|^{2}}

「捩率」は「れいりつ」と読む. 「捩」は「ねじれ」の意味.

定義 1.5.3 R^{3} ∋ v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}), w = (w_{1}, w_{2}, w_{3}) に対し, 次のベクトル v × w を v と w のベクトル積と呼ぶ:

v × w := (| \begin{matrix}v_{2} & w_{2} \\ v_{3} & w_{3} \end{matrix} | , | \begin{matrix}v_{3} & w_{3} \\ v_{1} & w_{1} \end{matrix} | , | \begin{matrix}v_{1} & w_{1} \\ v_{2} & w_{2} \end{matrix} |) .

空間曲線に対しても平面曲線と同様にして「パラメータ変換」が定義出来る. 曲率と捩率はパラメータ変換をしても変わらず, また任意の空間曲線はパラメータ変換によって弧長パラメータ表示（すなわち |γ′| = 1 となる助変数表示）出来る.

定義 1.5.4 弧長パラメータ表示された空間曲線 γ が γ′′ ≠ 0 をみたすとき, e(s) := γ′(s) を単位接ベクトル, n(s) := e′(s)/|e′(s)| を主法線ベクトル, b(s) := e(s) × n(s) を従法線ベクトルと呼ぶ.

補題 1.5.5 (フルネ-セレの公式)弧長パラメータ表示された空間曲線 γ に対し,

(e(s), n(s), b(s))′ = (e(s), n(s), b(s)) ( \begin{matrix}& −κ(s) \\ κ(s) & & −τ(s) \\ & τ(s) \end{matrix} ) .

定理 1.5.6 (空間曲線の基本定理)(1) ∀κ, τ : I → ℝ : C^{∞}, ∃γ : I → ℝ^{3} : 空間曲線の弧長パラメータ表示 s.t. κ = κ_{γ}, τ = τ_{γ}. (2) γ_{1}, γ_{2} を曲線の弧長パラメータ表示とする. 両者の曲率と捩率が共に一致するための必要十分条件は γ_{1} と γ_{2} は回転と平行移動で互いに写りあうこと.

ちなみに ℝ^{3} の回転とは, 以下の群の作用のこと:

SO(3) := {X ∈ M_{3}(ℝ) | X ·^{t}X = I, det(X) = 1}.

これと平行移動によって生成される群 M_{3} を ℝ^{3} の運動群と呼ぶ.

2 曲面

この講義の後半は曲面について考えます. 非常に大雑把に言って, 平面曲線が γ : ℝ → ℝ^{2} で表されていたのと同様に, 曲面は p : ℝ^{2} → ℝ^{3} で表されます. このような写像の微分を使って曲線や曲面を調べるのですが, 1 変数関数の微分と 2 変数関数の微分の違いから, 曲面の方が当然ながら扱いが難しくなります（偏微分を使います） . しかし, 「何を調べるのか」という粗筋は同じである, ということを意識して欲しいと思います.

(1) 曲面とは何か（定義）

(2) 曲面の陽関数表示と陰関数表示

(3) 曲面の曲がり具合を調べる（曲率）

曲面論は, それ自身現在でも活発に研究が続けられている分野ですが, これから幾何学を勉強すると現れるであろう「多様体」の基礎となる, という意味でも非常に重要です. そのような先々のテーマに, この講義で行った曲面論の話が役に立つと嬉しく思います.

2.1 曲面の定義

D を ℝ^{2} の領域（連結開集合）とする.

定義 2.1.1 p : D → ℝ^{3} : (u, v) ↦ (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) を連続写像とする. p またはその像 p(D) が曲面片であるとは, 次をみたすこと:

(1) p は C^{∞}-級, (2) ∀(u, v) ∈ D, rank(p_{u}(u, v), p_{v}(u, v)) = 2.

ここで, 記号 p_{u} は p の u での偏微分を表す. すなわち,

p_{u} = (x_{u}, y_{u}, z_{u}) = (\frac{∂x}{∂u}, \frac{∂y}{∂u}, \frac{∂z}{∂u}), p_{v} = (x_{v}, y_{v}, z_{v}) = (\frac{∂x}{∂v}, \frac{∂y}{∂v} , \frac{∂z}{∂v}).

定義 2.1.2 ℝ^{3} の連結部分集合 M が曲面であるとは, M が曲面片の和集合であること, i.e., ∀m ∈ M, ∃p : D → ℝ^{3} : 曲面片 s.t. m ∈ P (D) ⊂ M.

すなわち, 曲面は曲面片を貼り合せたものである. 特に曲面片は曲面. しかし一般に曲面が一つの曲面片で表せるとは限らない.

曲面片 p(D) は ℝ^{2} の開集合 D と「同じ」（正確には微分同相）であり, 曲面はそれらを貼り合せたものである. 幾何学では「多様体」という概念が重要であるが, n 次元多様体は「ℝ^{n} の開集合を貼り合せたもの」として定義される. ちなみに曲面は 2 次元多様体である.

定義 2.1.3 C^{∞}-関数 f : D → ℝ に対し, 集合 {(x, y, f(x, y)) | (x, y) ∈ D} を z = f(x, y) のグラフと呼ぶ.

命題 2.1.4 z = f(x, y) のグラフは曲面である.

もちろん x = f(y, z) のグラフや y = f(z, x) のグラフも同様に定義でき, それらも曲面である（実は曲面片になる） .

2.2 [復習] 微分とは

ここで多変数関数の微分の復習を少ししておく. 微分という概念を把握することは曲面論を学ぶ上で必修である.

定義 2.2.1 D を ℝ^{m} の開集合, f : D → ℝ^{n} を C^{∞}-関数とする. f の p ∈ D での微分 (df)_{p} を次で定義する:

(df)_{p} : ℝ^{m} → ℝ^{n} : v ↦ lim_{t→0} \frac{f(p + vt) − f(p)}{t}.

このとき, 微分 (df)_{p} は線形写像である. 標語的に言うと「微分＝線形近似」 .

ℝ^{m} の標準的な基底を \{x_{1}, …, x_{m}\} とすると, 定義から明らかに (df)_{p}(x_{i}) = (\frac{∂f}{∂x_{i}})_{p} である. 偏微分係数とは, 微分の特別な方向の値である.

定義 2.2.2 (df)_{p} の標準的な基底に関する行列表示を Jacobi 行列と呼び, (Jf)_{p} で表す:

(Jf)_{p} = [ \begin{matrix}(\frac{∂f_{1}}{∂x_{1}} )_{p} & ⋯ & (\frac{∂f_{1}}{∂x_{m}})_{p} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ (\frac{∂f_{n}}{∂x_{1}} )_{p} & ⋯ & (\frac{∂f_{n}}{∂x_{m}})_{p} \end{matrix} ] .

命題 2.2.3 f : ℝ^{n} → ℝ^{n} が点 p の近傍で C^{∞}-同相であるとする. このとき (df)_{p} は線形同型であり, さらに次が成立: (d(f^{−1}))_{f(p)} = (df)_{p}^{−1}.

上の命題の逆が成り立つ, という定理が逆写像定理である. すなわち, 線形近似の性質から元の写像の性質が分かる, ということを主張している.

定理 2.2.4 (逆写像定理) f : ℝ^{n} → ℝ^{n} を C^{∞}-写像とする. (df)_{p} が線形同型ならば, f は点 p の周りで C^{∞}-同相.

(df)_{p} が線形同型ということは, その行列表示 (Jf)_{p} が逆行列を持つ（あるいは階数が n である）ことと同値. そのような書き方をしている本が多い.

2.3 曲面の陽関数表示・陰関数表示

曲線論の場合と同様に「助変数表示 ↔ 陽関数表示 ↔ 陰関数表示」という（局所的な）同値性が成り立つ.

命題 2.3.1 曲面 M は局所的にはグラフで書ける, i.e., ∀m ∈ M, ∃U_{m} : M における m の近傍, ∃f : D → ℝ : C^{∞} s.t. U_{m} は f のグラフ.

上の証明には逆関数定理を本質的に用いる. また, 陰関数定理より, 次が成り立つ.

命題 2.3.2 C^{∞}-関数 F : ℝ^{3} → ℝ が ∀(x_{0}, y_{0}, z_{0}), (F_{x}, F_{y}, F_{z})_{(x_{0},y_{0},z_{0})} ≠ (0, 0, 0) を満たすならば, F (x, y, z) = 0 で表される集合は曲面である.

例えば球面 x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 が曲面であることを証明する場合, 定義に従って（曲面片を具体的に決めて）証明するのは面倒であった. しかし, この命題を使えば証明は殆ど明らかである.

2.4 微分形式

D を ℝ^{2} の開集合とする. ここでは D 上の関数で話をするが, ℝ^{n} の開集合上で定義された関数に対しても議論は全く同様である. 定義 2.4.1 C^{∞}-関数 f : D → ℝ の外微分を次で定義: df : D → End(ℝ^{2}, ℝ) : m ↦ (df)_{m}.

ここで, End(ℝ^{2}, ℝ) := {φ : ℝ^{2} → ℝ : 線形 } であり, これは ℝ^{2} の双対空間と一致する. 定義 2.4.2 C^{∞}-写像 α : D → End(ℝ^{2}, ℝ) を D 上の 1 次微分形式 (1-form) と呼ぶ.

A^{1}(D) で D 上の 1 次微分形式の全体を表す. End(ℝ^{2}, ℝ) の代数的構造から, 次のような A^{1}(D) の代数的構造（和と関数倍）が定まる. 定義 2.4.3 α, β ∈ A^{1}(D), C^{∞}-関数 f : D → ℝ に対し, α + β, fα ∈ A^{1}(D) を次で定義:

(α + β)_{m} := (α)_{m} + (β)_{m}, (fα)_{m} := f(m) · (α)_{m}.

D 上の C^{∞}-関数全体の集合を C^{∞}(D) で表す. C^{∞}(D) は関数の和と積によって環になる. 上で定義した和と関数倍によって, A^{1}(D) は C^{∞}(D)-加群である. 定義 2.4.4 D の座標を (u, v) としたとき, u および v は

u : D → ℝ : (u, v) ↦ u, v : D → ℝ : (u, v) ↦ v

という C^{∞}-関数を表し, この外微分を du, dv で表す. 命題 2.4.5 C^{∞}-関数 f : D → ℝ に対し, df = f_{u}du + f_{v}dv. 定義 2.4.6 α, β ∈ A^{1}(D) に対し, αβ : D → S^{2}(End(ℝ^{2}, ℝ)) を次で定義:

(αβ)_{m}(X, Y) := \frac{1}{2}(α_{m}(X)β_{m}(Y) + α_{m}(Y)β_{m}(X)).

ここで, S^{2}(End(ℝ^{2}, ℝ)) := {ω : ℝ^{2} × ℝ^{2} → ℝ : 双線形 | ω(X, Y) = ω(Y, X)} である. S^{2}(End(ℝ^{2}, ℝ)) の元を対称 2 次形式, D から S^{2}(End(ℝ^{2}, ℝ)) への C^{∞}-写像を D 上の対称 2 次形式と呼ぶ.

2.5 基本形式

曲面 M 上の微分形式 dp, dν を, 次の手順で定義する.

1. m ∈ M に対し, m を含む曲面片 p̄: D → ℝ^{3} を取り, p̄(u_{0}, v_{0}) = m とする.

2. (dp)_{m} := (dp̄)_{(u_{0},v_{0})} ∈ End(ℝ^{2}, ℝ^{3}).

3. ν̄ : D → ℝ^{3} : (u, v) ↦ \frac{p̄_{u} × p̄_{v}}{|p̄_{u} × p̄_{v}|} と定義し, (dν)_{m} := (dν̄)_{(u_{0},v_{0})} ∈ End(ℝ^{2}, ℝ^{3}).

このとき dp, dν : M → End(ℝ^{2}, ℝ^{3}). これらが well-defined であること（すなわち曲面片の選び方に依存しないこと）は証明する必要がある. 定義 2.5.1 曲面 M の第 1 基本形式, 第 2 基本形式を次で定義する:

I := dp · dp, II := −dν · dp.

定義 2.5.2 曲面片 p : D → ℝ^{3} および C^{∞}-同相写像 ϕ : D′ → D に対し, p ∘ ϕ を p の ϕ による座標変換と呼ぶ. また, ϕ が ∀m ∈ D′, det(dϕ)_{m} > 0 を満たすとき, その座標変換を正の座標変換と呼び, ∀m ∈ D′, det(dϕ)_{m} < 0 を満たすときには負の座標変換と呼ぶ.

座標変換 p ∘ ϕ も曲面片である. また, det(dϕ)_{m} = 0 となる点 m ∈ D′ は存在しないので（存在したとするとその点の近傍で C^{∞}-同相ではなくなる） , 任意の座標変換は正または負のいずれかになる.

補題 2.5.3 曲面片に対し, dp は座標変換に依存しない. dν は正の座標変換に依存しない.

命題 2.5.4 曲面の第１基本形式は座標変換に依存しない. 第２基本形式は正の座標変換に依存しない.

ここで曲面の第１基本形式, 第２基本形式を別の方法で表示する.

命題 2.5.5 p : D → ℝ^{3} を曲面片とする. このとき, (1) E := p_{u} · p_{u}, F := p_{u} · p_{v}, G := p_{v} · p_{v} とすると, I = Edu^{2} + 2F dudv + Gdv^{2}.

(2) L := −p_{u}·ν_{u}, M := −p_{u}·ν_{v}, N := −p_{v} ·ν_{v} とすると, II = Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2}.

2.6 ガウス曲率・平均曲率

定義 2.6.1 曲面 M に対し, 次を満たす写像 A : M → End(ℝ^{2}, ℝ^{2}) を型作用素と呼ぶ:

∀m ∈ M, ∀X, Y ∈ ℝ^{2}, II_{m}(X, Y) = I_{m}(A_{m}X, Y).

命題 2.6.2 I = Edu^{2} + 2F dudv + Gdv^{2}, II = Ldu^{2} + 2Mdudv + Ndv^{2} とする. A の標準的な基底に関する行列表示は,

( \begin{matrix}E & F \\ F & G \end{matrix} )^{−1} ( \begin{matrix}L & M \\ M & N \end{matrix} ) .

定義 2.6.3 曲面 M に対し, K : M → End(ℝ^{2}, ℝ^{2}) : m ↦ det(A_{m}) をガウス曲率, H : M → End(ℝ^{2}, ℝ^{2}) : m ↦ \frac{1}{2}tr(A_{m}) を平均曲率と呼ぶ.

向きを保つ合同変換（i.e., SO(3) と平行移動で生成される群 M_{3} の作用）を考える.

命題 2.6.4 M を曲面, g ∈ M_{3} とすると, M′ := g · M も曲面である. さらに,

I_{m} = I′_{g·m}, II_{m} = II′_{g·m}, K_{m} = K′_{g·m}, H_{m} = H′_{g·m}.

このことを用いて, 平面 ℝ^{2}, 球面 S^{2}(r), 円柱に対し, そのガウス曲率と平均曲率が一定であることが分かる（このような曲面を等質であると言う） .

定義 2.6.5 曲面 M が z-軸の周りの回転面であるとは, 次が成立すること:

∀θ ∈ ℝ, ( \begin{matrix}cos θ & − sin θ & 0 \\ sin θ & cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) · M = M.

回転面は, xz-平面の曲線 γ(u) = (x(u), z(u)) を z-軸の周りに回転させたものとして得られ, p(u, v) := (cos θ · x(u), sin θ · x(u), z(u)) によって助変数表示できる.