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2006年度解析学 I の講義を終えて

この講義では, 実数（上限・下限）, 数列（収束・発散）, 関数（連続・中間値の定理・微分・平均値の定理）について扱った. これらの概念を学ぶことも重要だが, それ以上に, 論理記号や証明の書き方に慣れることに重点を置いた.
教科書は「微分積分学」（笠原晧司著, サイエンス社）を用いた. また講義の際には, 内容をまとめたプリントを配布した. このプリントには演習問題が載せてあり, その半分くらいは講義で例として紹介し, 紹介しなかった残りの問題の解答は, レポートとして提出しても良い（しなくても良い）とした. これは, 担当者が証明の書き方の添削をしますよ, という趣旨だったが, 上手く活用した学生も若干名は居た.
講義の目標には「ロピタルの定理やテイラー展開などを紹介する」と書いてしまったが, 到底そこまでは到達出来なかった. しかし, 恐らく次に同じ科目を担当したとしても, 今回と同じくらいしか進まないと思われる（そもそもの予定が無理であった, ということに, 途中でやっと気が付いた）.
講義中に証明する場合, 「示すべきことは何か」を最初に宣言し, まずそれを黒板に書くようにした. そして, その示すべきことに従って（順番を律儀に守って）証明を行うように心がけた. 特に, その順番を意識させる為に, 証明のパートごとに番号を付けたりした（示すべきことが「∀y, ∃x : y=f(x)」の場合, 証明は「∀y」「∃x」「y=f(x)」の３つのパートに分かれる, というようなこと）.
この講義では中間試験および期末試験を行った. 試験問題には, 必要な定義をほとんど書いておいた. その上で「定義に従って証明せよ」という問題を多く出題した. 少なくとも, 「示すべきことは何か」は, 殆どの学生が理解していたと思われる（必要な定義が問題文のすぐ上に書いてあるから, それを写すだけなのだけど, しかし, まずそこで躓く学生が多い, というのが担当者の経験則）. しかし, 示すべきことが分かっていても証明が書けない（あるいは足りない）, というパターンの学生が多く, 試験の結果が良かったとは到底言えない.
成績評価は, 中間および期末試験の点数を元に付けた. なお, ボーダー付近では, レポートおよび試験問題に書かれた自由問題を参考にして, 加点を行った.
今回の解析学 I では, 演習の時間に小テストおよびレポートを多く行っていた. それによって学生は随分と鍛えられたと感じた. 個人的には, 講義と演習の連絡が良く取れており, 協力して進められたと思う（一方的に助けられていたとも言うが）.
最後に学生の方々へ. 数学科のほぼ全ての講義に於いて, 定義に従って物事を理解し, 証明することは, とても重要なことで, それが出来ないと何も分からない, 何をやってるかすら分からない, ということになりがちです. 今回の解析学 I で学んだことは, その初歩です. 単位が貰えたから万歳, ではなく, 中身・考え方を身に付けるように, 復習をしておいて下さい.