数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.1 （2025.4.10 出題）

演習問題は https://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R7SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかを後日レポート問題に指定したり，期末試験で出題したりするかもしれません．

[1] 1 ≤ p < ∞ を定数とする．

(1) f(x) = \frac{1}{x^{α}} とおく．

(i) f ∈ L^{p}((0, 1]) となる実数 α の範囲を求めよ． (ii) f ∈ L^{p}([1, ∞)) となる実数 α の範囲を求めよ．

(2) g(x) = \frac{1}{1 + |x|^{α}} とおく． g ∈ L^{p}(ℝ) となる実数 α の範囲を求めよ．

（分かりにくければ，まずは p = 1 の場合に考えてみよう^{1}）

(3) h(x, y) = \frac{1}{1 + (\sqrt{x^{2} + y^{2}})^{α}} とおく． h ∈ L^{p}(ℝ^{2}) となる実数 α の範囲を求めよ．

（では ℝ^{N} 上の関数 φ(x) = \frac{1}{1 + |x|^{α}} （ただし x = (x_{1}, …, x_{N}) に対して |x| = \sqrt{x_{1}^{2} + ⋯ + x_{N}^{2}}）

に対して， φ ∈ L^{p}(ℝ^{N}) となる実数 α の範囲はどうなるであろうか？）

[2] 1 ≤ p < ∞ とし， q を\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 を満たす実数とする． (1) α, β ≥ 0 ならば， (α + β)^{p} ≤ 2^{p−1}(α^{p} + β^{p}) が成立することを示せ．

(2) α, β ≥ 0 ならば， αβ ≤ \frac{α^{p}}{p} + \frac{β^{q}}{q} が成立することを示せ．

[3] （Lebesgue 空間の包含関係・その 1）有界開区間 (0, 1) を I とおく． (1) L^{2}(I) ⊂ L^{1}(I) を示せ．より一般に，測度が有限な可測集合 Ω と，定数 1 ≤ q ≤ p < ∞

に対して L^{p}(Ω) ⊂ L^{q}(Ω) であることが示せる．（ヒント： Hölder の不等式） (2) 「任意の f ∈ L^{2}(I) に対して ∥f∥_{1} ≤ c∥f∥_{2}」を満たす最小の定数 c の値を求めよ． (3) f ∈ L^{1}(I) だが f ∉ L^{2}(I) となる関数 f : I → ℂ の例を挙げよ^{2}．

(4) 一方， L^{1}(ℝ) と L^{2}(ℝ) には包含関係はないこと，即ち L^{2}(ℝ) ⊄ L^{1}(ℝ) および L^{2}(ℝ) ⊅ L^{1}(ℝ) であることを示せ^{3}．

（裏に続く） [4] 可測集合 Ω ⊂ ℝ^{N} に対し， ∫_{Ω} |f(x)|^{p} dx < ∞ を満たす可測関数全体を L^{p}(Ω) とし，

1すると，広義積分 ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{1 + |x|^{α}} が収束するような実数 α の範囲を求める問題になりますね．被積分関数は偶関数ですから， ∫_{0}^{∞} \frac{dx}{1 + x^{α}} の収束・発散を考えれば十分です．

2この結果と (1) とを併せると， L^{2}(I) は L^{1}(I) の真部分集合であることが分かります． 3一般に， Ω の測度が ∞ の場合には L^{p}(Ω) と L^{q}(Ω) (1 ≤ q < p < ∞) の間に包含関係はありません．これと (1) の結果とを比べてください．

f ∈ L^{p}(Ω) に対し， ∥f∥_{p} := (∫_{Ω} |f(x)|^{p} dx)^{1/p} と定めると， 1 ≤ p < ∞ のときに ∥ · ∥_{p} が L^{p}(Ω) 上のノルムであることを今日の講義で示した．

さて， 0 < p < 1 の時にも上と同様に定義したいところだが，残念ながら 0 < p < 1 ならば ∥ · ∥_{p} は L^{p}(Ω) のノルムとはならない．このことを Ω が開区間 (−1, 1) の場合に証明

せよ．（ノルムの定義のうちどれが成り立たないのであろうか？）

[5] p ∈ [1, ∞) とする．次の 3 つの条件をすべて満たす関数列 (f_{n})_{n=1}^{∞} の例を挙げよ． (i) 任意の n ∈ ℕ に対して， f_{n} : [0, 1] → ℂ は可測関数．

(ii) lim_{n→∞} ∥f_{n}∥_{p} = 0．（即ち (f_{n}) は恒等的に 0 である関数に L^{p}-ノルムで収束している）

(iii) 任意の x ∈ [0, 1] に対して， lim_{n→∞} f_{n}(x) = 0 とはならない．

（即ち (f_{n}) は [0, 1] 内のすべての点で 0 に収束していない）（ただし，補足プリント No.2 の裏面にある定理により， (f_{n}) の部分列をうまく選べばほとんどいたるところ 0 に収束するようにできるはずである）

[6] Ω ⊂ ℝ^{N} を有界閉集合とし， f ∈ C(Ω) に対して ∥f∥ := sup_{x∈Ω} |f(x)| と定める． (1) ∥ · ∥ は C(Ω) 上のノルムであることを示せ．

(2) C(Ω) は ∥ · ∥ について完備である（即ち， (C(Ω), ∥ · ∥) は Banach 空間である）ことを示せ^{4}．

[7] Ω ⊂ ℝ^{N} が有界閉集合であるとき． f ∈ C(Ω) に対して ∥f∥ := sup_{x∈Ω} |f(x)| と定めると， ∥ · ∥ は C(Ω) 上のノルムであり， (C(Ω), ∥ · ∥) は Banach 空間であることを前問 [6] で示した．

しかし， Ω が開集合のときは， C(Ω) の元に対して上と同様に ∥ · ∥ を定めると， ∥ · ∥ は C(Ω) 上のノルムにすらなっていない．それはなぜであるか説明せよ^{5}．

[8] (X, ∥ · ∥) をノルム空間であるとする^{6}． (1) 任意の u, v ∈ X に対して，|∥u∥ − ∥v∥| ≤ ∥u − v∥ が成り立つことを示せ．

(2) f : X → ℝ を f(u) = ∥u∥ で定めるとき， f は X 上の連続関数であることを示せ． (3) 点列 (u_{n})_{n=1}^{∞} ⊂ X と元 u, v ∈ X が u_{n} → u, u_{n} → v (n → ∞) を満たすとき， u = v

であることを示せ．

4この講義では， C(Ω) といったら Ω 上の複素数値連続関数全体の集合を表しています．

5例えば Ω が開区間 (0, 1) のときを考えてみよう．

6(2) の事実はノルムの連続性， (3) の事実は極限の一意性と呼ばれます．