数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.2 （2025.4.15 出題）

 演習問題は https://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R7SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかを後日レポート問題に指定したり，期末試験で出題したりするかもしれません．

[9] (1) Ω ⊂ ℝ^{N} を可測集合とし， f ∈ L^{∞}(Ω) とする．このとき， |f(x)| ≤ ∥f∥_{∞} a.e. x ∈ Ω であることを示せ^{1}．

(2) Ω ⊂ ℝ^{N} を開集合とし， f ∈ C(Ω) ∩ L^{∞}(Ω) とする．このとき，

• |f(x)| ≤ M a.e. x ∈ Ω ⟺^{同値} |f(x)| ≤ M (∀x ∈ Ω),

• ∥f∥_{∞} = sup_{x∈Ω} |f(x)|

が成り立つことを示せ．

[10] Ω ⊂ ℝ^{N} を可測集合とする．このとき，次を示せ^{2}．

f ∈ L^{1}(Ω), g ∈ L^{∞}(Ω) ⟹ fg ∈ L^{1}(Ω) かつ|∫_{Ω} f(x)g(x) dx| ≤ ∥f∥_{1}∥g∥_{∞}.

[11] （Lebesgue 空間の包含関係・その 2） (1) Ω ⊂ ℝ^{N} を\underline{Lebesgue 測度が有限な}可測集合とする．このとき，任意の p ∈ [1, ∞) に

対して L^{∞}(Ω) ⊂ L^{p}(Ω) を示せ^{3}．

(2) 一方， Ω の\underline{Lebesgue 測度が ∞ のとき}には， L^{p}(Ω) と L^{∞}(Ω) には包含関係はない．以下， I を開区間 (1, ∞) として，次の各々について条件を満たす関数 f : I → ℂ の例を挙げよ．

(i) 任意の p ∈ [1, ∞) に対して f ∈ L^{p}(I) であるが， f ∉ L^{∞}(I) である関数 f． (ii) f ∈ L^{∞}(I) であるが，任意の p ∈ [1, ∞) に対して f ∉ L^{p}(I) である関数 f．

（こちらの方が (i) より簡単です）

[12] （数列空間の包含関係） 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞ とおく．このとき， ℓ^{q} ⊂ ℓ^{p} を示せ^{4}．

[13] ℓ^{∞} = {(a_{n})_{n=1}^{∞} ⊂ ℂ | (a_{n})_{n=1}^{∞} は有界数列} とおく． a = (a_{n}) ∈ ℓ^{∞} に対して

∥a∥_{ℓ^{∞}} := sup_{n∈ℕ} |a_{n}|

と定める． (1) ∥ · ∥_{ℓ^{∞}} は ℓ^{∞} 上のノルムであることを示せ．

(2) ℓ^{∞} は ∥ · ∥_{ℓ^{∞}} について完備である（即ち， (ℓ^{∞}, ∥ · ∥_{ℓ^{∞}}) は Banach 空間である）ことを示せ．

（裏に続く） [14] Ω ⊂ ℝ^{N} を可測集合とする． (L^{∞}(Ω), ∥ · ∥_{∞}) は Banach 空間であることを証明せよ．

1講義では f ∈ L^{∞}(Ω) に対して ∥f∥_{∞} := inf{M ≥ 0 | |f(x)| ≤ M a.e. x ∈ Ω} と定義しました．この問題は， f ∈ L^{∞}(Ω) ならば inf が実は min であることを示せ，という問題です．

2証明は [9](1) の結果を用いればできます．これも Hölder の不等式と呼ばれることがあります．

3この結果と演習問題 [3](1) の結果を併せると， Ω が測度有限な可測集合ならば，任意の 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞ に対して L^{p}(Ω) ⊂ L^{q}(Ω) であることが言えます．

4この結果と真上に書いた注意とを比べてみましょう．

（[13] とほぼ同様ではありますが，きちんと証明しようとすると結構大変です）

[15] Ω ⊂ ℝ^{N} を Lebesgue 測度が有限な可測集合とし， f ∈ L^{∞}(Ω) とする（すると [11](1)

の結果より，任意の p ∈ [1, ∞) に対して f ∈ L^{p}(Ω) である）．このとき，次を示せ^{5}．

lim_{p→∞} ∥f∥_{p} = ∥f∥_{∞}

[16] 次の ℝ 上の関数の Fourier 変換を求めよ．ただし a > 0 とする．

(1) f(x) = \begin{cases}1 & (x ∈ [−a, a]) \\ 0 & (x ∉ [−a, a]) \end{cases} (2) f(x) = \begin{cases}|x| & (x ∈ [−a, a]) \\ 0 & (x ∉ [−a, a]) \end{cases}

[17] (1) 4/8 のレポート問題 No.1 にあったように， f(x) = \frac{1}{1 + x^{2}} の Fourier 変換は

f̂(ξ) = πe^{−|ξ|} であった．では， f̂(ξ) = πe^{−|ξ|} の逆 Fourier 変換を計算せよ^{6}．

(2) 複素積分の方法を用いて， f(x) = \frac{1}{(1 + x^{2})^{2}} の Fourier 変換を求めよ．

[18] f ∈ L^{1}(ℝ^{N}) とする．このとき， g(x) := \overline{f(x)} とおくと ĝ(ξ) = \overline{f̂(−ξ)} であることを示せ．

[19] convolution を取る演算 ∗ が L^{1}(ℝ^{N}) で閉じていることを今日の講義で証明した．

(1) 演算 ∗ は交換則を満たすこと，即ち

f, g ∈ L^{1}(ℝ^{N}) ⟹ f ∗ g = g ∗ f a.e. ℝ^{N}

を示せ．

(2) 演算 ∗ は結合則を満たすこと，即ち，

f, g, h ∈ L^{1}(ℝ^{N}) ⟹ (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) a.e. ℝ^{N}

を示せ．（Fubini の定理を用いる）

lim_{p→∞} (∫_{a}^{b} |f(x)|^{p} dx)^{1/p} = max_{x∈[a,b]} |f(x)|.

5Lebesgue 積分に不慣れな方は，次の問題で考えていただいても構いません：

問題： f を閉区間 [a, b] 上の連続関数とするとき，次を示せ．両者の証明は本質的にはほとんど変わりません．なお， [11](2) の結果より，「Ω の Lebesgue 測度が有限」という仮定がないと反例があります．

6答は f(x) = \frac{1}{1 + x^{2}} と一致するはずです．この問題は（ある条件下において） Fourier 変換と逆 Fourier 変換が互いに逆演算であることを，実例により確かめる問題です．