数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.3 （2025.4.17 出題）

 演習問題は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R7SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかを後日レポート問題に指定したり，期末試験で出題したりするかもしれません．

[20] 1 ≤ p ≤ ∞ に対し， f ∈ L^{1}(ℝ^{N}), g ∈ L^{p}(ℝ^{N}) とする．このとき， f ∗ g ∈ L^{p}(ℝ^{N}) であることを示せ^{1}．

[21] \underline{合成積の定義に従って}，次の ℝ 上の関数 f, g に対して f ∗ g を計算せよ．ただし α, β > 0 とする．

(1) f(x) = χ_{[−8,8]}, g(x) = χ_{[−1,1]}．ただし A ⊂ ℝ に対して χ_{A}(x) := \begin{cases}1 & (x ∈ A) \\ 0 & (x ∉ A) \end{cases}．

(2) f(x) = \frac{1}{x^{2} + α^{2}} , g(x) = \frac{1}{x^{2} + β^{2}} ．

(3) f(x) = e^{−αx^{2}}, g(x) = e^{−βx^{2}}．

[22] C_{∞}(ℝ^{N}) := {f ∈ C(ℝ^{N}) | lim_{|x|→∞} f(x) = 0} とおく． f ∈ C_{∞}(ℝ^{N}) に対して ∥f∥ :=

sup_{x∈ℝ^{N}} |f(x)| と定める．

(1) (C_{∞}(ℝ^{N}), ∥ · ∥) は Banach 空間であることを示せ．

(2) C_{0}(ℝ^{N}) はノルム ∥ · ∥ に関して Banach 空間ではないが， C_{∞}(ℝ^{N}) で稠密であるこ

とを示せ．（講義の「略証」を補完せよ）

[23] 今日の講義で次の定理を紹介した（証明は補足プリント No.3 を参照）．

{\underline{定理．} 1 ≤ p < ∞ のとき， C_{0}(ℝ^{N}) は L^{p}(ℝ^{N}) で稠密である． \atop 即ち， ∀f ∈ L^{p}(ℝ^{N}), ∀ε > 0, ∃g ∈ C_{0}(ℝ^{N}) s.t. ∥f − g∥_{p} < ε.}

この定理は p = ∞ のときは成り立たないことを示せ．

[24] 1 ≤ p < ∞ とする．任意の f ∈ L^{p}(ℝ^{N}) に対して，次の式が成り立つことを示せ．

lim_{t→0} ∫_{ℝ^{N}} |f(x + t) − f(x)|^{p} dx = 0.

（まずは f ∈ C_{0}(ℝ^{N}) の場合に示せ．そして C_{0}(ℝ^{N}) が L^{p}(ℝ^{N}) において稠密であることを用いる．）

[25] （大学 1 年で学ぶ解析学の復習問題）

ℝ 上の関数 g(t) = \begin{cases}e^{− \frac{1}{t}} & (t > 0) \\ 0 & (t ≤ 0) \end{cases} は， g ∈ C^{∞}(ℝ) を満たすことを示せ．

（裏に続く） [26] f, g ∈ S(ℝ^{N}), α ∈ ℂ とする．次を示せ．

1講義では p = 1 と p = 2 の場合を証明しましたが，一般の p の場合もそれを真似ればできます．ただし， p = ∞ の場合は別に考えないといけないことに注意しましょう．

なお，もっと一般に， 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ が\frac{1}{r} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} − 1 を満たすとき， f ∈ L^{p}(ℝ^{N}), g ∈ L^{q}(ℝ^{N}) ならば f ∗ g ∈ L^{r}(ℝ^{N}) であることも示すことができます（ただし証明はもっと複雑になります）．

(1) f + g ∈ S(ℝ^{N}), αf ∈ S(ℝ^{N}).

(2) j = 1, …, N に対し\frac{∂f}{∂x_{j}} ∈ S(ℝ^{N}).

（従って，急減少関数はどの変数で何回微分しても急減少関数である）

(3) j = 1, …, N に対し， φ(x) := x_{j}f(x) とおくと φ ∈ S(ℝ^{N}).

（|x|^{m}|D^{α}φ| を考えるわけですが，その際に積の微分（Leibniz の定理）を用いて展開します ←わかりにくい場合は N = 1 で考えてみても良いです）

(4) p(x) を x の多項式とする． ψ(x) := p(x)f(x) とおくと ψ ∈ S(ℝ^{N}).

（ヒント： (1) と (3) を繰り返し使う）

(5) fg ∈ S(ℝ^{N}).

（ヒント： Leibniz の定理を用いると

D^{α}(fg)(x) = ∑ ; 0≤β_{1}≤α_{1} ; 0≤β_{2}≤α_{2} ; ⋮ ; 0≤β_{N} ≤α_{N} \binom{α_{1}}{β_{1}}\binom{α_{2}}{β_{2}} ⋯ \binom{α_{N}}{β_{N}}D^{α−β}f(x) D^{β}g(x)

が成立します←わかりにくい場合は N = 1 で考えてみても良いです）

[27] (X, ∥ · ∥) をノルム空間とする． 1 点 x ∈ X と部分集合 A ⊂ X に対して

dist (x, A) = inf{∥x − y∥ | y ∈ A}

と定義する． (1) A が閉集合であると仮定する．このとき， dist (x, A) = 0 ⟺ x ∈ A を示せ．

(2) F を X の閉集合， G を X の開集合とし， F ⊂ G と仮定する．このとき，連続関数 h : X → [0, 1] で， F 上では恒等的に 1， G^{c} 上では恒等的に 0 を値にもつものが存在することを示せ．

（ヒント： h(x) = \frac{dist (x, G^{c})}{dist (x, F) + dist (x, G^{c})} とすると……でも証明の際は細かい点まで注意しよう）

[28] X を Banach 空間， M を X の部分空間とする．このとき， M が X のノルムをノルムとして Banach 空間となるための必要十分条件は，

M が X の閉部分空間であることを示せ^{2}．

2丁寧に書けば，

(X, ∥·∥) を Banach 空間， M を X の部分空間とし， ∥·∥_{M} : M → ℂ を ∥u∥_{M} := ∥u∥ (u ∈ M)

で定める．このとき，「(M, ∥ · ∥_{M}) は Banach 空間 ⟺ M は X の閉部分空間」を示せ．ということです．