数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.4 （2025.4.22 出題）

 演習問題は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R7SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかを後日レポート問題に指定したり，期末試験で出題したりするかもしれません．

[29] X を有限次元線形空間とし， e_{1}, e_{2}, …, e_{k} を X の基底とする．すると，任意の u ∈ X に対して

u = c_{1}e_{1} + c_{2}e_{2} + ⋯ + c_{k}e_{k} (c_{1}, c_{2}, …, c_{k} ∈ ℂ)

と一意的に表すことができる．このとき， ∥u∥_{∞} = max_{j=1,...,k} |c_{j}| と定義する．

(1) ∥ · ∥_{∞} は X 上のノルムであることを示せ．

(2) (X, ∥ · ∥_{∞}) は Banach 空間であることを示せ^{1}．

[30] f, g ∈ C_{0}(ℝ^{N}) とする．このとき， f ∗ g ∈ C_{0}(ℝ^{N}) であることを示せ．

（示すべきことは

• 任意の x ∈ ℝ^{N} に対して (f ∗ g)(x) = ∫_{ℝ^{N}} f(x − y)g(y) dy の値が（有限値として）存在すること

• f ∗ g の support が compact であること

• f ∗ g が ℝ^{N} 上で連続であること

です． 3 番目の主張を証明するには Lebesgue の収束定理を用いると良いです．）

[31] 1 < p, q < ∞ は\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 を満たす定数とする．このとき， f ∈ L^{p}(ℝ^{N}), g ∈ L^{q}(ℝ^{N}) ならば f ∗ g ∈ C_{∞}(ℝ^{N}) であることを示せ．

[32] f, g ∈ S(ℝ^{N}) とする．このとき， f ∗ g ∈ S(ℝ^{N}) であることを（Fourier 変換の知識を使わずに直接）示せ．

[33] δ > 0 に対し h_{δ} ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{N}) を本日の講義で定義した関数とする． 1 ≤ p < ∞ に対して，次を示せ．

(1) f ∈ L^{p}(ℝ^{N}) ならば， h_{δ} ∗ f ∈ L^{p}(ℝ^{N}) であり ∥h_{δ} ∗ f∥_{p} ≤ ∥f∥_{p}．

(2) f ∈ L^{p}(ℝ^{N}) ならば， ∥h_{δ} ∗ f − f∥_{p} → 0 (δ → +0)．

[34] p = ∞ のときは， [33](1) は真であるが [33](2) は偽であることを示せ．

（裏へ続く） [35] 加法を通常の +，乗法を convolution を取る演算 ∗ で定めると， L^{1}(ℝ^{N}) は可換環をなすことは既に示されている（4/15 の講義および演習問題 [19] を参照）^{2}．

1勿論， ℂ が完備であることは用いて良いです．任意に X の Cauchy 列 (u_{n})_{n=1}^{∞} を取って， u_{n} = c_{n1}e_{1} + c_{n2}e_{2} + ⋯ + c_{nk}e_{k} と表したときに，まずは各 j = 1, …, k に対して複素数列 (c_{nj})_{n=1}^{∞} が Cauchy 列であることを示します．

では，この環には乗法 ∗ に関する単位元が存在するか？即ち，

∃e ∈ L^{1}(ℝ^{N}) s.t. ∀f ∈ L^{1}(ℝ^{N}), e ∗ f = f a.e. ℝ^{N}

が成立するか？真ならば単位元 e を具体的に求め，偽ならばそれを証明せよ．

（ヒント：単位元 e が存在すると仮定しましょう． [33](2) を使うと ∥h_{δ} ∗ e − e∥_{1} → 0 (δ → +0) ですが，仮定より h_{δ} ∗ e = e ∗ h_{δ} = h_{δ} a.e. ℝ^{N} ですから……）

[36] 1 ≤ p ≤ ∞ とする．このとき， S(ℝ^{N}) ⊂ L^{p}(ℝ^{N}) を示せ．

（u ∈ S(ℝ^{N}) を任意に取ると， S(ℝ^{N}) の定義より，「任意の m ∈ ℕ に対して，ある R > 0 が存在して |x| ≥ R ならば |x|^{m}|u(x)| ≤ 1」が成立します．あとは， p = ∞ と 1 ≤ p < ∞ で場合分けをします． 1 ≤ p < ∞ のときは「α > N ならば ∫_{|x|≥R} |x|^{−α} dx < ∞」を用いると， m をどう置けば良いかが分かるでしょう．）

2乗法を通常のかけ算で定めてしまうと L^{1}(ℝ^{N}) は乗法で閉じていません．