数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.5 （2025.4.24 出題）

 演習問題は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R7SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかはレポート問題に指定していますし，期末試験でも出題するかもしれません．

[37] f ∈ S(ℝ^{N}) とする．このとき，次を示せ． (1) （平行移動性） c ∈ ℝ^{N} に対し， g_{c}(x) := f(x − c) と定めると ĝ_{c}(ξ) = e^{−icξ}f̂(ξ)．

(2) （相似性） α > 0 に対し， h_{α}(x) := f(αx) と定めると ĥ_{α}(ξ) = \frac{1}{α^{N}} f̂(\frac{ξ}{α})．

(3) （反転） φ(x) := f(−x) と定めると φ̂(ξ) = f̂(−ξ) = (2π)^{N} (F^{∗}f) (ξ)．

[38] （ルベーグ積分に関する復習問題） f, g ∈ C(ℝ^{N}) とする．もし f(x) = g(x) a.e. x ∈ ℝ^{N} ならば^{1}， f(x) = g(x) (∀x ∈ ℝ^{N}) であることを証明せよ．

[39] (1) ℝ 上の関数 f(x) = \frac{sin x}{x} は， f ∉ L^{1}(ℝ) を満たすことを示せ^{2}．

(2) ℝ 上の関数 g(x) = \frac{sin^{2} x}{x^{2}} は， g ∈ L^{1}(ℝ) を満たすことを示せ．

[40] 次の各問に答えよ． (1) ℝ 上の関数 f(x) = χ_{[−1,1]}(x) の Fourier 変換を求めよ．（演習問題 [16](1) で計算済み）

(2) ℝ 上の関数 g(x) = \frac{sin^{2} x}{x^{2}} の Fourier 変換を求めたい．（[39](2) の結果より g ∈ L^{1}(ℝ)） (i) (1) で定義した f に対し， (f ∗ f)(x) の Fourier 変換を計算せよ． (ii) (2)(i) の答を Fourier 逆変換した後に x と ξ を入れ替え，さらに x を −x に置

き換える変数変換（置換積分）を行え．その結果を用いて， g(x) = \frac{sin^{2} x}{x^{2}} の Fourier 変換を計算せよ．

(3) (2)(ii) を用いて， ∫_{−∞}^{∞} \frac{sin^{2} x}{x^{2}} dx の値を求めよ．

[41] 加法を通常の +，乗法を convolution を取る演算 ∗ で定めると， L^{1}(ℝ^{N}) は可換環をなす．演習問題 [35] ではこの環が乗法に関する単位元を持つか否かについて考えた．

ここでは N = 1 の場合を考えることにして，環 L^{1}(ℝ) には零因子は存在するか？即ち，「f = 0 a.e. ℝ ではない」「g = 0 a.e. ℝ ではない」「f ∗ g = 0 a.e. ℝ」の三つを同時に満たす f, g ∈ L^{1}(ℝ) は存在するか？真ならば零因子を具体的に与え，偽ならばそれを証明せよ^{3}．

（ヒント： [40](2)(ii)）

（裏に続く） [42] 次の条件を満たす f ∈ L^{1}(ℝ) を全て求めよ．

1もちろん，測度は ℝ^{N} 上の Lebesgue 測度を考えています．

2つまり， ∫_{−∞}^{∞} |\frac{sin x}{x}| dx = ∞ であることを示して下さい，ということです．しかし， ∫_{−∞}^{∞} \frac{sin x}{x} dx は Riemann 広義積分として見ると収束しています（←大学 1 年生の解析学の復習でもあるので証明してみて下さい）．

3簡単のため N = 1 について考えましたが，一般の N の場合も同様です．

条件： (f ∗ f)(x) = e^{−x^{2}} を満たす．

[43] 次の条件を満たす f ∈ L^{1}(ℝ) を全て求めよ．

条件： (f ∗ f)(x) = f(x) を満たす．

\underline{☆次回の講義で使われる知識}

（関数解析の知識です．黒田成俊著「関数解析」（共立出版）や増田久弥著「関数解析」（裳華房）等を参照．）

(X, ∥ · ∥_{X}), (Y, ∥ · ∥_{Y}) をノルム空間， T : X → Y を X 全体を定義域とする線形作用素とする．

\underline{定義．}

• T : X → Y が有界 ⟺^{def} ∃M > 0, ∀x ∈ X, ∥T x∥_{Y} ≤ M∥x∥_{X}.

• T : X → Y が連続 ⟺^{def} 「x_{n} → x (n → ∞) ならば T x_{n} → T x (n → ∞).」

\underline{注意．} 線形作用素に対しては「有界 ⟺ 連続」が成立^{4}．

\underline{定理．（開写像定理）} X, Y を Banach 空間とし， T : X → Y を有界線形作用素とする．もし T が全射ならば， T は開写像である（即ち， T は X の開集合を Y の開集合に写す）．

\underline{系．} X, Y を Banach 空間とし， T : X → Y を有界線形作用素とする．もし T が全単射ならば， T^{−1} : Y → X も有界線形作用素である．

4関数解析学においては大変重要な性質です．