数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 補足プリント No.2 （2025.4.10 配布）

 プリントは https://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R7SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

今日の講義で証明できなかった L^{p}(Ω) の完備性について証明を述べておきます． \underline{定義．} Ω ⊂ ℝ^{N} を可測集合， 1 ≤ p < ∞ とする．

Ω 上の ℂ-値可測関数 f(x) が\underline{p 乗可積分}であるとは，

∫_{Ω} |f(x)|^{p} dx < ∞

を満たすことをいう．また， Ω 上の p 乗可積分関数全体を L^{p}(Ω) と書く．

さらに， f ∈ L^{p}(Ω) に対し， ∥f∥_{p} = (∫_{Ω} |f(x)|^{p} dx)^{\frac{1}{p}} と定義する．

\underline{注意．}ほとんどいたるところ一致する関数は同じと思う（そうでないと ∥ · ∥_{p} はノルムにならない！）．

\underline{定理．} (L^{p}(Ω), ∥ · ∥_{p}) は Banach 空間である．［証明］ ∥ · ∥_{p} が L^{p}(Ω) 上のノルムであることは講義中に（ほぼ）示したので， L^{p}(Ω) が ∥ · ∥_{p} に関して完備であること，即ち ∥ · ∥_{p} に関する L^{p}(Ω) の Cauchy 列が必ず L^{p}(Ω) 内に極限をもつことを示す．

(f_{n})_{n=1}^{∞} ⊂ L^{p}(Ω) を Cauchy 列とする．目標は

目標： ∃f ∈ L^{p}(Ω) s.t. lim_{n→∞} ∥f_{n} − f∥_{p} = 0

を示すことであるが，まずは次の Claim を示す．

\underline{Claim.} ∃(f_{n_{k}})_{k=1}^{∞} ⊂ (f_{n})_{n=1}^{∞}, ∃f ∈ L^{p}(Ω) s.t. lim_{k→∞} ∥f_{n_{k}} − f∥_{p} = 0.

∃n_{1} ∈ ℕ s.t. i, j ≥ n_{1} ⟹ ∥f_{i} − f_{j}∥_{p} < \frac{1}{2}

∃n_{2} ∈ ℕ s.t. i, j ≥ n_{2} ⟹ ∥f_{i} − f_{j}∥_{p} < \frac{1}{2^{2}}

∃n_{k} ∈ ℕ s.t. i, j ≥ n_{k} ⟹ ∥f_{i} − f_{j}∥_{p} < \frac{1}{2^{k}}

次に， g_{k}(x) = |f_{n_{1}}(x)| + ∑_{i=1}^{k−1}|f_{n_{i+1}}(x) − f_{n_{i}}(x)| とおく．このとき g_{k} ∈ L^{p}(Ω) であり

∥g_{k}∥_{p} ≤ ∥f_{n_{1}}∥_{p} + ∑_{i=1}^{k−1} ∥f_{n_{i+1}} − f_{n_{i}}∥_{p} （∵ Minkowski の不等式）

< ∥f_{n_{1}}∥_{p} + ∑_{i=1}^{k−1} \frac{1}{2^{i}} < ∥f_{n_{1}}∥_{p} + 1

（即ち， (f_{n})_{n=1}^{∞} の部分列をうまく取れば L^{p}-ノルムで収束する）［Claim の証明］ (f_{n}) は L^{p}(Ω) の Cauchy 列であるので，が成立する．次に，が成立する．このとき， n_{2} > n_{1} と取ることができる．同様にして各 k ∈ ℕ に対してが成立し，自然数列 (n_{k})_{k=1}^{∞} は狭義単調増加に取ることができる．

が成立する．従って ∫_{Ω} g_{k}(x)^{p} dx < (∥f_{n_{1}}∥_{p} + 1)^{p} (∀k ∈ ℕ) を得る．

一方， g_{k}(x) ≥ 0 かつ g_{k+1}(x) ≥ g_{k}(x) が成立するので，値 ∞ を許せば lim_{k→∞} g_{k}(x) = g(x) が

存在し，単調収束定理より

∫_{Ω} g(x)^{p} dx = ∫_{Ω} lim_{k→∞} g_{k}(x)^{p} dx = lim_{k→∞} ∫_{Ω} g_{k}(x)^{p} dx ≤ (∥f_{n_{1}}∥_{p} + 1)^{p} < ∞

が成立する．故に g ∈ L^{p}(Ω) であり，補足プリント No.1 の命題 A(3) より g(x) < ∞ a.e. x ∈ Ω を得る．

これより， f_{n_{k}}(x) = f_{n_{1}}(x) + ∑_{i=1}^{k−1}(f_{n_{i+1}}(x) − f_{n_{i}}(x)) とみて k → ∞ とすると，右辺の無限級数

はほとんどいたるところ絶対収束している．従って lim_{k→∞} f_{n_{k}}(x) がほとんどいたるところ（有限値

として）存在することが分かるので，その極限値を f(x) と定める．

最後に f ∈ L^{p}(Ω) と lim_{k→∞} ∥f_{n_{k}} − f∥_{p} = 0 を示す．任意の k ∈ ℕ に対して

|f_{n_{k}}(x)| ≤ |f_{n_{1}}(x)| + ∑_{i=1}^{k−1}|f_{n_{i+1}}(x) − f_{n_{i}}(x)| = g_{k}(x) ≤ g(x) a.e. x ∈ Ω

であるから， k → ∞ として |f(x)| ≤ g(x) a.e. x ∈ Ω を得る． g ∈ L^{p}(Ω) であったので補足プリント No.1 の命題 A(4) より f ∈ L^{p}(Ω) を得る．次に

|f(x) − f_{n_{k}}(x)| = |∑_{i=k}^{∞}(f_{n_{i+1}}(x) − f_{n_{i}}(x))| ≤ ∑_{i=k}^{∞}|f_{n_{i+1}}(x) − f_{n_{i}}(x)| ≤ g(x) (∀k ∈ ℕ, a.e. x ∈ Ω).

故に |f(x) − f_{n_{k}}(x)|^{p} ≤ |g(x)|^{p} (∀k ∈ ℕ, a.e. x ∈ Ω) であり g は Ω 上で可積分であるから， Lebesgue の収束定理より

lim_{k→∞} ∥f_{n_{k}} − f∥_{p} = lim_{k→∞} ∫_{Ω} |f(x) − f_{n_{k}}(x)|^{p} dx = ∫_{Ω} lim_{k→∞} |f(x) − f_{n_{k}}(x)|^{p} dx = 0.

［Claim の証明終わり］

最後に目標を示す．任意に ε > 0 を取る． (f_{n}) が L^{p}(Ω) の Cauchy 列であるので

∃N′ ∈ ℕ s.t. ℓ, m ≥ N′ ⟹ ∥f_{ℓ} − f_{m}∥_{p} < \frac{ε}{2}

が成立する．また Claim より

∃K ∈ ℕ s.t. k ≥ K ⟹ ∥f_{n_{k}} − f∥_{p} < \frac{ε}{2}

が成立する．従って M := max{N′, m_{K}} とおくと， n ≥ M ならば

∥f_{n} − f∥_{p} ≤ ∥f_{n} − f_{n_{K}}∥_{p} + ∥f_{n_{K}} − f∥_{p} < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε

であるので， lim_{n→∞} ∥f_{n} − f∥_{p} = 0 が示された． ■

\underline{注意．}証明をよく見ると，部分列 (f_{n_{k}})_{k=1}^{∞} は f に Ω 上ほとんどいたるところ収束しているので，次の定理も証明されたことになっています．

\underline{定理．} (f_{n})_{n=1}^{∞} ⊂ L^{p}(Ω), f ∈ L^{p}(Ω) とする．いま，

lim_{n→∞} ∥f_{n} − f∥_{p} = 0

が成り立つならば，ある (f_{n})_{n=1}^{∞} の部分列 (f_{n_{k}})_{k=1}^{∞} が存在して f に Ω 上ほとんどいたるところ

収束する (i.e., lim_{k→∞} f_{n_{k}}(x) = f(x) a.e. x ∈ Ω)．