数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 補足プリント No.3 （2025.4.17 配布）

 プリントは https://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R7SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

今日の講義で説明できなかった次の定理の証明を述べます．結果はとても重要ですので，演習問題と共にしっかり学習してください．

\underline{定義．} ℝ^{N} 上の連続関数のうち， support （台）が compact であるもの全体を C_{0}(ℝ^{N}) と書く．ただし， f ∈ C(ℝ^{N}) に対し

supp f = \overline{\{x ∈ ℝ^{N} | f(x) ≠ 0\}}

と定義し，関数 f の support （台）と呼ぶ．

\underline{定理．} 1 ≤ p < ∞ のとき， C_{0}(ℝ^{N}) は L^{p}(ℝ^{N}) で稠密である．即ち ; ∀f ∈ L^{p}(ℝ^{N}), ∀ε > 0, ∃φ ∈ C_{0}(ℝ^{N}) s.t. ∥f − φ∥_{p} < ε ; が成立する．

［証明］ f ∈ L^{p}(ℝ^{N}) を実部と虚部に分けて（明らかにどちらも L^{p} 関数），さらにそれぞれを非負値 L^{p} 関数の差に書けば，最初から f が非負値 L^{p} 関数として C_{0}(ℝ^{N}) の元で近似できれば十分である．即ち，任意に非負値関数 f ∈ L^{p}(ℝ^{N}) と任意に ε > 0 をとったとき

∃φ ∈ C_{0}(ℝ^{N}) s.t. ∥f − φ∥_{p} < ε

を示す．

\underline{Step 1.} m ∈ ℕ に対して f_{m}(x) = \begin{cases}f(x) & (|x| ≤ m) \\ 0 & (|x| > m) \end{cases} とおくと， f_{m} ∈ L^{p}(ℝ^{N}) であり，

Lebesgue の収束定理より

∥f − f_{m}∥_{p}^{p} = ∫_{|x|>m} |f(x)|^{p} dx → 0 (m → ∞)

が言える（詳細は各自チェックせよ）．従って

∃n ∈ ℕ s.t. ∥f − f_{n}∥_{p} < \frac{ε}{3}

が成立する（このとき， f_{n}(x) = 0 (|x| > n) であることに注意）．

\underline{Step 2.} f_{n} は非負値可測関数であるから，単調増大な非負値単関数列 \{g_{k}\}_{k=1}^{∞} の極限として書ける．任意の k ∈ ℕ に対して 0 ≤ g_{k} ≤ f_{n} であるから，

|f_{n}(x) − g_{k}(x)|^{p} ≤ f_{n}(x)^{p} (∀k ∈ ℕ, a.e. x ∈ ℝ^{N})

が成立する． f_{n}^{p} は ℝ^{N} 上で可積分であるので Lebesgue の収束定理より

lim_{k→∞} ∥f_{n} − g_{k}∥_{p}^{p} = lim_{k→∞} ∫_{ℝ^{N}} |f_{n}(x) − g_{k}(x)|^{p} dx = ∫_{ℝ^{N}} lim_{k→∞} |f_{n}(x) − g_{k}(x)|^{p} dx = 0.

従って，

∃K ∈ ℕ s.t. ∥f_{n} − g_{K}∥_{p} < \frac{ε}{3}

が成立する（このとき， 0 ≤ g_{K} ≤ f_{n} より g_{K}(x) = 0 (|x| > n) であることに注意）． \underline{Step 3.} この g_{K} を

g_{K}(x) = ∑_{j=1}^{ℓ} a_{j}χ_{E_{j}}(x) (a_{j} > 0, E_{j} : 可測集合 (j = 1, …, ℓ))

と書く^{1}．補足プリント No.1 の定理 B より，各 j = 1, …, ℓ ごとに

∃F_{j}: closed, ∃G_{j}: open, bounded

s.t. F_{j} ⊂ E_{j} ⊂ G_{j} かつ m(G_{j} \ E_{j}) < (\frac{ε}{3ℓa_{j}} )^{p}

が成立する（ここで m は ℝ^{N} 上の Lebesgue 測度）．

演習問題 No.3 [27] より， F_{j} 上で 1， G_{j} の外で 0， ℝ^{N} 全体で [0, 1] に値をとる連続関数 h_{j} が存在する． φ = ∑_{j=1}^{ℓ} a_{j}h_{j} とおくと， h_{j} ∈ C_{0}(ℝ^{N}) であるから φ も C_{0}(ℝ^{N}) の元である．このとき， G_{j} \ F_{j} の外では χ_{E_{j}} = h_{j} であり， G_{j} \ F_{j} では −1 ≤ χ_{E_{j}} − h_{j} ≤ 1 であるから

∥χ_{E_{j}} − h_{j}∥_{p} = (∫_{ℝ^{N}} |χ_{E_{j}}(x) − h_{j}(x)|^{p} dx)^{\frac{1}{p}} ≤ m(G_{j} \ F_{j})^{\frac{1}{p}} < \frac{ε}{3ℓa_{j}}

である．故に

∥g_{K} − φ∥_{p} = ∥∑_{j=1}^{ℓ} a_{j}χ_{E_{j}} − ∑_{j=1}^{ℓ} a_{j}h_{j}∥_{p} ≤ ∑_{j=1}^{ℓ} a_{j}∥χ_{E_{j}} − h_{j}∥_{p} < ∑_{j=1}^{ℓ} a_{j} \frac{ε}{3ℓa_{j}} = \frac{ε}{3}.

従って，

∥g_{K} − φ∥_{p} < \frac{ε}{3}

が成立する．

Step 1, Step 2, Step 3 より，

∥f − φ∥_{p} ≤ ∥f − f_{n}∥_{p} + ∥f_{n} − g_{K}∥_{p} + ∥g_{K} − φ∥_{p} < \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} = ε

が得られ， ∥f − φ∥_{p} < ε を満たす φ ∈ C_{0}(ℝ^{N}) の存在が示された． ■

\underline{注意．} p = ∞ のときは定理は成立しません（演習問題 No.3 [23]）．

1χ_{E_{j}} は特性関数です．即ち， χ_{E_{j}}(x) = \begin{cases}1 & (x ∈ E_{j}) \\ 0 & (x ∉ E_{j}) \end{cases} です．

また，「g_{K} ≡ 0 のときはどうするんだ」と言われたら，そのときは φ ≡ 0 と取れば φ ∈ C_{0}(ℝ^{N}) と ∥g_{K} − φ∥_{p} < ε が成立するので， g_{K} ≢ 0 の場合だけを考えてしまって良いです．