数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A メモ

本講義における定義，命題，定理等について，その内容を簡単にまとめたものです．本講義の流れを理解するための一助としていただければ幸いです．

\underline{１． Fourier 変換}

\underline{定義．} N ∈ ℕ, Ω ⊂ ℝ^{N} を可測集合， 1 ≤ p < ∞ とする．

このとき， Ω 上の（複素数値）可測関数 f が\underline{p 乗可積分}であるとは…… \underline{定義．} 1 ≤ p < ∞ のときの L^{p}(Ω) \underline{（Lebesgue 空間）} , ∥ · ∥_{p} \underline{（L^{p}-ノルム）} \underline{定義．} 1 ≤ p < ∞ のときの ℓ^{p} （数列空間） \underline{命題．} 1 ≤ p < ∞ とする．

\begin{matrix}1 \\ ◯ \end{matrix} L^{p}(Ω) は ℂ 上の線形空間である． \begin{matrix}2 \\ ◯ \end{matrix} ∥ · ∥_{p} は L^{p}(Ω) 上のノルムである．

従って， (L^{p}(Ω), ∥ · ∥_{p}) はノルム空間である．

\underline{命題．（Minkowski の不等式）} 1 ≤ p < ∞ とするとき， f, g ∈ L^{p}(Ω) ⟹ ∥f + g∥_{p} ≤ ∥f∥_{p} + ∥g∥_{p}. \underline{補題．（Hölder の不等式）} 1 < p < ∞ とし， q を\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 で定める．このとき， f ∈ L^{p}(Ω), g ∈ L^{q}(Ω) ならば|∫_{Ω} f(x)g(x) dx| ≤ ∥f∥_{p}∥g∥_{q}. \underline{注意．} p = q = 2 のときは\underline{Cauchy-Schwarz の不等式}と呼ばれる．

\underline{定義．}\underline{Banach 空間}

\underline{定理．（L^{p}(Ω) の完備性）} 1 ≤ p < ∞ とする． (f_{n}) ⊂ L^{p}(Ω) が Cauchy 列ならば，ある f ∈ L^{p}(Ω) が存在して lim_{n→∞} ∥f_{n} − f∥_{p} = 0 が成立する．

このとき， (f_{n}) の部分列 (f_{n_{k}}) をうまくとって lim_{k→∞} f_{n_{k}}(x) = f(x) a.e. x ∈ Ω とすることができる．→補足プリント No.2 \underline{定義．} L^{∞}(Ω), ∥ · ∥_{∞} （L^{∞}-ノルム）， ℓ^{∞} \underline{命題．} L^{∞}(Ω) は L^{∞}-ノルムについて完備である． \underline{注意．} L^{∞}(Ω) に対しても Minkowski の不等式は成立するし， Hölder の不等式も p = 1, q = ∞ として成立する（勿論， p = ∞, q = 1 としても O.K.）． \underline{注意．}ここまでの結果は一般の測度空間でも成立する． \underline{定義．（Fourier 変換）}

f = f(x) ∈ L^{1}(ℝ^{N}) とする． ξ ∈ ℝ^{N} に対し， f̂(ξ) = Ff(ξ) := · · · · · ·. \underline{定義．（逆 Fourier 変換）}

g = g(ξ) ∈ L^{1}(ℝ^{N}) とする． x ∈ ℝ^{N} に対し， ĝ(x) = F^{∗}g(x) := · · · · · ·.

\underline{例．}\begin{matrix}1 \\ ◯ \end{matrix} f(x) = \frac{1}{1 + x^{2}} ⟹ f̂(ξ) = · · · · · ·.

\begin{matrix}2 \\ ◯ \end{matrix} f(x) = e^{−x^{2}} ⟹ f̂(ξ) = · · · · · ·.

\begin{matrix}3 \\ ◯ \end{matrix} α > 0 に対して， f(x) = \frac{1}{cosh αx} = \frac{2}{e^{αx} + e^{−αx}} ⟹ f̂(ξ) = · · · · · ·.

\underline{定義． (convolution)}f, g を ℝ^{N} 上の可測関数とするとき， (f ∗ g)(x) := · · · · · ·. \underline{定理．} f, g ∈ L^{1}(ℝ^{N}) ならば， (f ∗ g)(x) はほとんどいたるところの x ∈ ℝ^{N} で定義され， f ∗ g ∈ L^{1}(ℝ^{N}) かつ ∥f ∗ g∥_{1} ≤ ∥f∥_{1}∥g∥_{1} である． \underline{定理．（Young の不等式（の一部））} f ∈ L^{1}(ℝ^{N}), g ∈ L^{2}(ℝ^{N}) ならば， (f ∗ g)(x) はほとんどいたるところの x ∈ ℝ^{N} で定義され， f ∗ g ∈ L^{2}(ℝ^{N}) かつ ∥f ∗ g∥_{2} ≤ ∥f∥_{1}∥g∥_{2} である． \underline{定義．} C_{∞}(ℝ^{N}), C_{0}(ℝ^{N}) \underline{定義．} 関数 f : ℝ^{N} → ℂ の\underline{台（support）}supp f とは……

\underline{命題．} f : ℝ^{N} → ℂ に対して ∥f∥_{∞} = sup_{x∈ℝ^{N}} |f(x)| とおく．

\begin{matrix}1 \\ ◯ \end{matrix} ノルム空間 (C_{∞}(ℝ^{N}), ∥ · ∥_{∞}) は Banach 空間である．

\begin{matrix}2 \\ ◯ \end{matrix} ノルム空間 (C_{0}(ℝ^{N}), ∥ · ∥_{∞}) は Banach 空間ではない．（→演習問題 No.3 [22]） \underline{定理．} 1 ≤ p < ∞ ならば， C_{0}(ℝ^{N}) は L^{p}(ℝ^{N}) で稠密である．→補足プリント No.3 \underline{注意．} この定理の証明は Lebesgue 測度の性質を用いている． \underline{注意．} この定理は\underline{p = ∞ のときは不成立である}．→演習問題 No.3 [23] \underline{定理．（変分法の基本補題の一種）} f ∈ L^{1}(ℝ^{N}) とする．もし任意の g ∈ C_{0}(ℝ^{N}) に対して ∫_{ℝ^{N}} f(x)g(x) dx = 0 を満たすならば， f(x) = 0 a.e. x ∈ ℝ^{N} である． \underline{定義．} C_{0}^{∞}(ℝ^{N}), S(ℝ^{N}) \underline{（急減少関数）}

\underline{例．} f(x) = \begin{cases}e^{\frac{1}{|x|^{2}−1}} & (|x| < 1) \\ 0 & (|x| ≥ 1) \end{cases} とおくと f ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{N}).

\underline{定理．}\begin{matrix}1 \\ ◯ \end{matrix} f ∈ C_{0}(ℝ^{N}), g ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{N}) ⟹ f ∗ g ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{N}).

\begin{matrix}2 \\ ◯ \end{matrix} f ∈ C_{0}(ℝ^{N}), g ∈ S(ℝ^{N}) ⟹ f ∗ g ∈ S(ℝ^{N}).

\underline{記号．} h(x) = \begin{cases}Ce^{\frac{1}{|x|^{2}−1}} & (|x| < 1) \\ 0 & (|x| ≥ 1) \end{cases} ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{N}) とおく．ただし， ∫_{ℝ^{N}} h(x) dx = 1 となる

ように C > 0 を選ぶ．さらに， δ > 0 に対して h_{δ}(x) = \frac{1}{δ^{N}} h (\frac{x}{δ}) とおく．

\underline{定理．}\begin{matrix}1 \\ ◯ \end{matrix} f ∈ C_{0}(ℝ^{N}) ⟹ ∥h_{δ} ∗ f − f∥_{∞} → 0 (δ → +0).

\begin{matrix}2 \\ ◯ \end{matrix} 1 ≤ p < ∞ のとき， f ∈ C_{0}(ℝ^{N}) ⟹ ∥h_{δ} ∗ f − f∥_{p} → 0 (δ → +0).

\underline{命題．} f ∈ L^{1}(ℝ^{N}) のとき， f̂ ∈ C(ℝ^{N}) ∩ L^{∞}(ℝ^{N}) であり，∥f̂∥_{∞} ≤ ∥f∥_{1} である．

\underline{定理．} f, g ∈ L^{1}(ℝ^{N}) ⟹ { \atop f ∗ g}(ξ) = f̂(ξ)ĝ(ξ) (∀ξ ∈ ℝ^{N}).

\underline{定理．} f ∈ S(ℝ^{N}), α = (α_{1}, …, α_{N}) ∈ ℤ_{+}^{N} とする．

\begin{matrix}1 \\ ◯ \end{matrix} f̂ ∈ C^{∞}(ℝ^{N}) であり， (D^{α}f̂) (ξ) = ∏_{j=1}^{N}(−ix_{j})^{α_{j}}f ; (ξ). （特に，\frac{∂}{∂ξ} f̂(ξ) = (−ix_{j})f (ξ)）

\begin{matrix}2 \\ ◯ \end{matrix} D^{α}f ; (ξ) = ∏_{j=1}^{N}(iξ_{j})^{α_{j}} f̂(ξ). （特に，\frac{∂f}{∂x_{j}} (ξ) = iξ_{j}f̂(ξ)）

\begin{matrix}3 \\ ◯ \end{matrix} f̂ ∈ S(ℝ^{N}).

定理．（Riemann-Lebesgue の定理）

f ∈ L^{1}(ℝ^{N}) ⟹ f̂ ∈ C_{∞}(ℝ^{N}) （特に lim_{|ξ|→∞} f̂(ξ) = 0）

\underline{定理．（反転公式）} f ∈ L^{1}(ℝ^{N}) かつ f̂ ∈ L^{1}(ℝ^{N}) ならば (F^{∗}f̂) (x) = f(x) a.e. x ∈ ℝ^{N}.

特に， f ∈ S(ℝ^{N}) ならば (F^{∗}f̂) (x) = f(x) (∀x ∈ ℝ^{N}).

\underline{記号．} ε > 0 に対して， K_{ε}(x) = \frac{1}{(ε\sqrt{π})^{N}} e^{− \frac{|x|^{2}}{ε^{2}}} (∈ S(ℝ^{N})) とおく．

\underline{補題．} f ∈ L^{1}(ℝ^{N}) のとき， ∥K_{ε} ∗ f − f∥_{1} → 0 (ε → +0) が成立する．

さらに， ε_{n} ↘ 0 を (K_{ε_{n}} ∗ f)(x) → f(x) a.e. x ∈ ℝ^{N} となるように取ることができる． \underline{系．} f, g ∈ L^{1}(ℝ^{N}) とする．このとき，次が成立する．

f̂(ξ) = ĝ(ξ) (∀ξ ∈ ℝ^{N}) ⟹ f(x) = g(x) a.e. x ∈ ℝ^{N}.

（つまり， Fourier 変換を取るという写像は L^{1}(ℝ^{N}) 内で単射である）

\underline{系．} Fourier 変換を取るという写像 F : S(ℝ^{N}) → S(ℝ^{N}) は全単射である． \underline{系．} L^{1}(ℝ^{N}) を Fourier 変換で写した像は C_{∞}(ℝ^{N}) で稠密である．

\underline{注意．} L^{1}(ℝ^{N}) を Fourier 変換で写した像は C_{∞}(ℝ^{N}) とは一致しない．

\underline{例．}\begin{matrix}1 \\ ◯ \end{matrix} 「ℝ 上の関数 f(x) = \frac{1}{x^{2} + 1} に対し， f ∗ f を求めよ」という問題は， Fourier 変換を用いると容易に計算できる．

\begin{matrix}2 \\ ◯ \end{matrix} 「f, g ∈ S(ℝ^{N}) ⟹ f ∗ g ∈ S(ℝ^{N})」という命題は， Fourier 変換を用いると容易に証明できる．

\begin{matrix}3 \\ ◯ \end{matrix} 任意の g ∈ S(ℝ^{N}) に対して，

−Δf + f = g in ℝ^{N} (Δ = \frac{∂^{2}}{∂x_{1}^{2}} + ⋯ + \frac{∂^{2}}{∂x_{N}^{2}} )

を満たす f ∈ S(ℝ^{N}) が存在する．

\underline{命題．} f, g ∈ S(ℝ^{N}) ⟹ ∫_{ℝ^{N}} f(x)\overline{g(x)} dx = \frac{1}{(2π)^{N}} ∫_{ℝ^{N}} f̂(ξ)\overline{ĝ(ξ)} dξ.

特に， ∫_{ℝ^{N}} |f(x)|^{2} dx = \frac{1}{(2π)^{N}} ∫_{ℝ^{N}} |f̂(ξ)|^{2} dξ が成立する (i.e., ∥f∥_{2} = \frac{1}{(2π)^{\frac{N}{2}}} ∥f̂∥_{2}) .

\underline{定義．} f ∈ L^{2}(ℝ^{N}) に対し， f の Fourier 変換，および逆 Fourier 変換は…… \underline{注意．} f ∈ L^{1}(ℝ^{N}) ∩ L^{2}(ℝ^{N}) ならば， L^{1}(ℝ^{N}) の意味での f の Fourier 変換と， L^{2}(ℝ^{N})

の意味での f の Fourier 変換は一致する．（以下，どちらの意味の Fourier 変換も f̂ で表すことにする）

\underline{定理．}\begin{matrix}1 \\ ◯ \end{matrix} （Plancherel の定理）

f, g ∈ L^{2}(ℝ^{N}) ⟹ ∫_{ℝ^{N}} f(x)\overline{g(x)} dx = \frac{1}{(2π)^{N}} ∫_{ℝ^{N}} f̂(ξ)\overline{ĝ(ξ)} dξ.

（特に， f ∈ L^{2}(ℝ^{N}) ⟹ ∥f∥_{2} = \frac{1}{(2π)^{\frac{N}{2}}} ∥f̂∥_{2} が成立する）

\begin{matrix}2 \\ ◯ \end{matrix} Fourier 変換を取るという写像は L^{2}(ℝ^{N}) から L^{2}(ℝ^{N}) への全単射である． \underline{例．} ℝ 上の関数 f(x) = \frac{sin x}{x} は f ∈ L^{2}(ℝ) だが f ∉ L^{1}(ℝ) である．

f の（L^{2}(ℝ) の意味での） Fourier 変換は…… 系．（Ramanujan の公式）

αβ = π, α > 0 ⟹ \sqrt{α} ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{−x^{2}}}{cosh αx} dx = \sqrt{β} ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{−x^{2}}}{cosh βx} dx.

\begin{cases}\frac{∂u}{∂t}(x, t) = Δu(x, t) & (x ∈ ℝ^{N}, t > 0) \\ u(x, 0) = f(x) ∈ L^{1}(ℝ^{N}) & (x ∈ ℝ^{N}) \end{cases}

を考える．ただし， Δu = ∑_{j=1}^{N} \frac{∂^{2}u}{∂x_{j}^{2}} である． t > 0 に対して G_{t}(x) := \frac{1}{(4πt)^{\frac{N}{2}}} e^{− \frac{|x|^{2}}{4t}} とおく．

\underline{命題．} f ∈ L^{1}(ℝ^{N}) に対して， u(x, t) = (G_{t} ∗ f)(x) = \frac{1}{(4πt)^{\frac{N}{2}}} ∫_{ℝ^{N}} e^{− \frac{|x−y|^{2}}{4t}} f(y) dy とおく．

\begin{matrix}2 \\ ◯ \end{matrix} lim_{t→+0} ∥u(·, t) − f∥_{1} = 0.

→演習問題 No.7 [56]

Fourier 変換の応用例として，次の\underline{ℝ^{N} 上の熱方程式の初期値問題}：

\begin{matrix}1 \\ ◯ \end{matrix} u(x, t) は ℝ^{N} × (0, ∞) 上で (x, t) について C^{∞} 級かつ熱方程式を満たす．

\begin{matrix}3 \\ ◯ \end{matrix} もし f が ℝ^{N} 上で有界かつ一様連続な関数ならば， lim_{t→+0} ∥u(·, t) − f∥_{∞} = 0.

\underline{２．超関数}

\underline{定義．} (φ_{n}) ⊂ C_{0}^{∞}(ℝ^{N}) に対して， φ_{n} → 0 in C_{0}^{∞}(ℝ^{N}) であるとは……．

このような収束を C_{0}^{∞}(ℝ^{N}) 上で考えているとき， D(ℝ^{N}) と書く． \underline{例．} 0 ≠ φ ∈ C_{0}^{∞}(ℝ) に対して，

\begin{matrix}1 \\ ◯ \end{matrix} φ_{n}(x) = \frac{1}{n}φ(x) → 0 in D(ℝ). \begin{matrix}2 \\ ◯ \end{matrix} φ_{n}(x) = \frac{1}{n}φ(x − n) ↛ 0 in D(ℝ).

\underline{定義．} T : D(ℝ^{N}) → ℂ が\underline{超関数}であるとは……．また，超関数全体を D′(ℝ^{N}) と書く． \underline{注意．}一般に，関数空間 X から ℂ への写像を\underline{汎関数（functional)} という． \underline{注意．}φ ∈ D(ℝ^{N}) のとき， T (φ) を ⟨T, φ⟩ と書くこともある．（φ を試験関数 (test function) と呼ぶ） \underline{例．} δ ∈ D′(ℝ^{N}) \underline{（Dirac の δ 関数）} \underline{定義．} ℝ^{N} 上で\underline{局所可積分}な関数， L_{loc}^{1}(ℝ^{N}). \underline{注意．} L_{loc}^{1}(ℝ^{N}) ⊃ C(ℝ^{N}), L_{loc}^{1}(ℝ^{N}) ⊃ L^{p}(ℝ^{N}) (1 ≤ p ≤ ∞). \underline{命題．} f ∈ L_{loc}^{1}(ℝ^{N}) に対し， ⟨T_{f}, φ⟩ = ∫_{ℝ^{N}} f(x)φ(x) dx (φ ∈ D(ℝ^{N})) と定めると， T_{f} ∈

D′(ℝ^{N}) である．（これにより， L_{loc}^{1}(ℝ^{N}) に属する関数は自然に超関数とみなせる）

\underline{命題．} L_{loc}^{1}(ℝ^{N}) から D′(ℝ^{N}) への写像 f ↦ T_{f} は単射である． \underline{注意．}p.2 にある「変分法の基本補題の一種」は次の形で成立する（→演習問題 No.8 [60]）：

f ∈ \underline{L_{loc}^{1}(ℝ^{N})} とする．もし「任意の φ ∈ \underline{C_{0}^{∞}(ℝ^{N})} に対して ∫_{ℝ^{N}} f(x)φ(x) dx =

0」が成立するならば， f(x) = 0 a.e. x ∈ ℝ^{N} である．

\underline{例．}\underline{Heaviside 関数} Y (x) = · · · · · ·. \underline{定義．}\frac{1}{x} の\underline{（Cauchy の）主値} p.v. \frac{1}{x}. \underline{定義．（線形演算）} T, S ∈ D′(ℝ^{N}), α, β ∈ ℂ に対して， αT + βS ∈ D′(ℝ^{N}) を

⟨αT + βS, φ⟩ := · · · · · · (φ ∈ D(ℝ^{N}))

と定義する．→演習問題 No.9 [62] \underline{定義．（関数との積）} T ∈ D′(ℝ^{N}), f ∈ C^{∞}(ℝ^{N}) に対して， fT ∈ D′(ℝ^{N}) を

⟨fT, φ⟩ := · · · · · · (φ ∈ D(ℝ^{N}))

と定義する．

\underline{例．}\begin{matrix}1 \\ ◯ \end{matrix} xδ(x) = 0 in D′(ℝ^{N}). \begin{matrix}2 \\ ◯ \end{matrix} x · p.v. \frac{1}{x} = 1 in D′(ℝ^{N}).

\underline{命題／定義．（微分）} T ∈ D′(ℝ^{N}) に対して，

⟨\frac{∂T}{∂x_{j}} , φ⟩ := − ⟨T, \frac{∂φ}{∂x_{j}} ⟩ (φ ∈ D(ℝ^{N}))

と定義すると，\frac{∂T}{∂x_{j}} ∈ D′(ℝ^{N}) である．

\underline{注意．}超関数 T ∈ D′(ℝ^{N}) は何回でも微分でき，\frac{∂}{∂x_{j}} \frac{∂}{∂x_{i}} T = \frac{∂}{∂x_{i}} \frac{∂}{∂x_{j}} T （偏微分の順序

交換が可能）である．→演習問題 No.9 [66]

\underline{例．}\begin{matrix}1 \\ ◯ \end{matrix} Y′(x) = δ(x). \begin{matrix}2 \\ ◯ \end{matrix} f(x) = \frac{1}{2}e^{−|x|} のとき， −f′′(x) + f(x) = δ(x).

\underline{定理．} T ∈ D′(ℝ^{N}) が T′ = 0 を満たすならば，

∃c ∈ ℂ s.t. T = c.

（即ち，微分方程式 T′ = 0 は超関数に拡張しても解は増えない）

\underline{定義．（積分）} T ∈ D′(ℝ^{N}) に対して，……のようにして T̃ ∈ D′(ℝ^{N}) を定めると\binom{}{T}′ = T を満たす．

\underline{注意．}直前の定理により，超関数 T の原始関数 T̃ は定数の差を除いて一意に定まる．

\underline{定理．} T : D(ℝ^{N}) → ℂ を線形汎関数とする．このとき，次は同値である．

\begin{matrix}1 \\ ◯ \end{matrix} T ∈ D′(ℝ^{N}).

\begin{matrix}2 \\ ◯ \end{matrix} ∀K ⊂ ℝ^{N} ：コンパクト集合， ∃m ∈ ℕ ∪ \{0\}, ∃C > 0

s.t. φ ∈ D(ℝ^{N}), supp φ ⊂ K ⟹ |⟨T, φ⟩| ≤ C ∑_{|α|≤m} sup_{x∈K} |D^{α}φ(x)|.

\underline{定義．（階数 (rank)）} T ∈ D′(ℝ^{N}) に対して T の階数（rank T ）とは……．

\underline{例．}\begin{matrix}1 \\ ◯ \end{matrix} rank δ = 0. \begin{matrix}2 \\ ◯ \end{matrix} f ∈ L_{loc}^{1}(ℝ^{N}) に対して rank T_{f} = 0.

\begin{matrix}3 \\ ◯ \end{matrix} rank δ′ = 1. \begin{matrix}4 \\ ◯ \end{matrix} rank δ^{(n)} = n.

\begin{matrix}5 \\ ◯ \end{matrix} D(ℝ) 上の汎関数 φ ↦ ⟨T, φ⟩ = φ(0) + φ′(1) + φ′′(2) + φ′′′(3) + ⋯ は D′(ℝ) の元であるが，階数をもたない．→演習問題 No.10 [75]

\underline{定義．（超関数の収束・極限）} (T_{n}) ⊂ D′(ℝ^{N}) が T ∈ D′(ℝ^{N}) に（超関数として）\underline{収束する} （T_{n} → T in D′(ℝ^{N})）とは……．

\underline{例．}

\begin{matrix}1 \\ ◯ \end{matrix} (f_{n}) ⊂ L_{loc}^{1}(ℝ^{N}) が一様有界（or 局所一様有界）であり， f ∈ L_{loc}^{1}(ℝ^{N}) とする．このとき，もし f_{n} → f a.e. ℝ^{N} ならば f_{n} → f in D′(ℝ^{N}) である．

\begin{matrix}2 \\ ◯ \end{matrix} f_{ε}(x) = \frac{1}{ε\sqrt{π}} e^{− \frac{x^{2}}{ε^{2}}} ∈ L^{1}(ℝ) に対して， f_{ε} → δ in D′(ℝ) (ε → +0) である．

\begin{matrix}3 \\ ◯ \end{matrix} f_{n}(x) = e^{inx} ∈ L_{loc}^{1}(ℝ) に対して， f_{n} → 0 in D′(ℝ) である．

\begin{matrix}4 \\ ◯ \end{matrix} f ∈ D(ℝ) に対して f_{n}(x) = nf(x − n) とおくと， f_{n} → 0 in D′(ℝ) である．

\begin{matrix}5 \\ ◯ \end{matrix} f_{n}(x) = ∫_{0}^{x} \frac{sin nt}{t} dt = ∫_{0}^{nx} \frac{sin t}{t} dt に対して， f_{n} → πY − \frac{π}{2} in D′(ℝ) である．

\underline{定理．} T_{n} → T in D′(ℝ) ならば， T′_{n} → T′ in D′(ℝ) が成立する．（多次元でも同様）

\underline{例．}\frac{sin nx}{x} → πδ(x) in D′(ℝ).

\underline{定義．} T ∈ D′(ℝ^{N}) が ℝ^{N} の開集合 Ω 上で 0 であるとは，……． \underline{定義．（超関数の台 (support)）} T ∈ D′(ℝ^{N}) に対して， supp T = · · · · · ·. \underline{例．}\begin{matrix}1 \\ ◯ \end{matrix} f ∈ C(ℝ^{N}) のとき， supp T_{f} = supp f. →演習問題 No.11 [81]

\begin{matrix}2 \\ ◯ \end{matrix} supp δ = \{0\}, supp δ^{(k)} = \{0\}. 従って， ∑_{k=0}^{m} a_{k}δ^{(k)} の台も \{0\} である．

\underline{定理．} supp T = \{0\} を満たす T ∈ D′(ℝ) は T = ∑_{k=0}^{m} a_{k}δ^{(k)} の形である．

\underline{例．} xT = 0 in D′(ℝ) を満たす T ∈ D′(ℝ) を全て求めよ．→演習問題 No.11 [82] も見よ． \underline{定義．}\underline{compact 台の超関数}， E′(ℝ^{N}). \underline{定義．} T ∈ E′(ℝ^{N}) ならば， ⟨T, φ⟩ = · · · · · · (φ ∈ C^{∞}(ℝ^{N})) により C^{∞}(ℝ^{N}) 上の汎関数 T : C^{∞}(ℝ^{N}) → ℂ が定まる．

C^{∞}(ℝ^{N}) に次の収束概念を考えた空間を E(ℝ^{N}) と書く． \underline{定義．} (φ_{n}) ⊂ E(ℝ^{N}) に対して， φ_{n} → 0 in E(ℝ^{N}) であるとは……．

\underline{例．}\begin{matrix}1 \\ ◯ \end{matrix} φ ∈ D(ℝ) に対して， φ_{n}(x) = nφ(x − n) → 0 in E(ℝ).

\begin{matrix}2 \\ ◯ \end{matrix} φ_{n}(x) = e^{\frac{x}{n}} ∈ E(ℝ) に対して， φ_{n} → 1 in E(ℝ).

→演習問題 No.11 [83] \underline{定理．}\begin{matrix}1 \\ ◯ \end{matrix} T ∈ D′(ℝ^{N}) に対して， supp T が compact であるとする．このとき， T を二つ前の定義にあるようにして E(ℝ^{N}) 上の線形汎関数とみなすと連続である．

（i.e. φ_{n} → 0 in E(ℝ^{N}) ⟹ ⟨T, φ_{n}⟩ → 0）

\begin{matrix}2 \\ ◯ \end{matrix} T を E(ℝ^{N}) 上の連続線形汎関数とする．これを D(ℝ^{N}) 上の線形汎関数とみなすと，連続かつ超関数として compact 台をもつ．

（\begin{matrix}1 \\ ◯ \end{matrix}，\begin{matrix}2 \\ ◯ \end{matrix} により，（E(ℝ^{N}) 上の連続線形汎関数全体） = E′(ℝ^{N}) を得る）

\underline{３．超関数の Fourier 変換}

超関数 T の Fourier 変換 T̂ を ⟨T̂, φ⟩ := ⟨T, φ̂⟩ と定めれば良さそうに思うが， φ ∈ D(ℝ^{N}) であっても φ̂ ∈ D(ℝ^{N}) であるとは限らない．試験関数の空間は Fourier 変換で不変であって欲しい．そこで，試験関数の空間として S(ℝ^{N}) を考えることとして， S(ℝ^{N}) 上の（しかるべき意味での）連続線形汎関数に対してその Fourier 変換を考える．まずは， S(ℝ^{N}) に次の収束概念を定義する．

\underline{定義．} φ ∈ S(ℝ^{N}) とする． • k, ℓ ∈ ℤ_{+} に対して， Π_{k,l}(φ) := · · · · · ·.

• n ∈ ℤ_{+} に対して， P_{n}(φ) := · · · · · ·.

\underline{定義．} (φ_{m}) ⊂ S(ℝ^{N}) に対して， φ_{m} → 0 in S(ℝ^{N}) であるとは……．

\underline{定義．}\underline{緩増加超関数 (tempered distribution)}， S′(ℝ^{N}).

実は， S′(ℝ^{N}) は D′(ℝ^{N}) の中である条件を満たすものと一致する．

\underline{補題．} φ ∈ S(ℝ^{N}) であるならば，

∃(φ_{m}) ⊂ D(ℝ^{N}) s.t. φ_{m} → φ in S(ℝ^{N})

が成立する．

\underline{定理．} S′(ℝ^{N}) は次の空間と同一視できる：

{T ∈ D′(ℝ^{N}) | ∃C > 0, ∃n ∈ ℤ_{+} s.t. |⟨T, φ⟩| ≤ CP_{n}(φ) (∀φ ∈ D(ℝ^{N}))}

\underline{補題．} φ_{m} → 0 in S(ℝ^{N}) ならば， φ̂_{m} → 0 in S(ℝ^{N}) が成立する．

\underline{定義．} T ∈ S′(ℝ^{N}) のとき， T̂ ∈ S′(ℝ^{N}) を ⟨T̂, φ⟩ := ⟨T, φ̂⟩ (φ ∈ S(ℝ^{N})) で定める．

（これは ⟨T̂, φ(ξ)⟩ = ⟨T, ∫_{ℝ^{N}} φ(ξ)e^{−ixξ} dξ⟩ ということ）

T ∈ S′(ℝ^{N}) の逆 Fourier 変換も同様に定義される．また， Fourier 変換を取る写像 S′(ℝ^{N}) → S′(ℝ^{N}) は全単射であることも分かる．

\underline{例．}

\begin{matrix}1 \\ ◯ \end{matrix} T ∈ E′(ℝ^{N}) ⟹ T ∈ S′(ℝ^{N}).

\begin{matrix}2 \\ ◯ \end{matrix} f ∈ C(ℝ^{N}) とする．もしも

∃C > 0, ∃p(x) : N 変数多項式s.t. |f(x)| ≤ C|p(x)| (∀x ∈ ℝ^{N})

が成り立つならば， f ∈ S′(ℝ^{N}) である． \begin{matrix}3 \\ ◯ \end{matrix} e^{x}(∈ C^{∞}(ℝ)) を超関数と思ったものは S′(ℝ) の元ではない．

\begin{matrix}4 \\ ◯ \end{matrix} f ∈ L^{1}(ℝ^{N}) or L^{2}(ℝ^{N}) ⟹ T ∈ S′(ℝ^{N}).

\underline{定理．}\begin{matrix}1 \\ ◯ \end{matrix} T ∈ S′(ℝ^{N}), α = (α_{1}, …, α_{N}) ∈ ℤ_{+}^{N} ⟹x_{1}^{α_{1}} ⋯ x_{N}^{α_{N}} T ∈ S′(ℝ^{N}), D^{α}T ∈ S′(ℝ^{N}).

\begin{matrix}2 \\ ◯ \end{matrix} T ∈ S′(ℝ^{N}) ⟹ \frac{∂}{∂ξ_{j}} T̂ = (−ix_{j})T , \frac{∂}{∂x_{j}} T = iξ_{j}T̂.

\underline{例．}\begin{matrix}1 \\ ◯ \end{matrix} ˆ1 = 2πδ. \begin{matrix}2 \\ ◯ \end{matrix} δ̂ = 1. \begin{matrix}3 \\ ◯ \end{matrix} x̂^{n} = 2πi^{n}δ^{(n)}.

最後に Sobolev 空間について学習する． S(ℝ^{N}) の元については Fourier 変換と微分の関係を学んだが，これをより広い空間で扱いたい．これだけなら緩増加超関数を考えると達成されているわけだが，これを「普通の関数」で考えたい．また， f_{n} → f ⟹ f′_{n} → f′ （微分演算の連続性）のようなものも課したい．「普通の関数」で Fourier 変換で不変な空間として L^{2}(ℝ) があるが，単純に {f ∈ L^{2}(ℝ) | f(x) は微分可能，かつ f′ ∈ L^{2}(ℝ) } を考えてしまうと，これは極限操作で閉じていない．実は，微分を「超関数微分」として考えてみると良いことが分かる．

\underline{定義．} m ∈ ℕ ∪ \{0\}, 1 ≤ p < ∞ のときの W^{m,p}(ℝ^{N})，ノルム ∥ · ∥_{W^{m,p}}.

\underline{注意．} m = 0 のときは W^{0,p}(ℝ^{N}) = L^{p}(ℝ^{N}) である．

\underline{定理．} W^{m,p}(ℝ^{N}) は Banach 空間である．

\underline{注意．} p = 2 のとき， f, g ∈ W^{m,2}(ℝ^{N}) の内積を (f, g)_{W^{m,2}} := ∑_{|α|≤m}(D^{α}f, D^{α}g)_{L^{2}(ℝ^{N})} と

定めれば， W^{m,2}(ℝ^{N}) は Hilbert 空間である．

\underline{補題．} f ∈ W^{m,p}(ℝ^{N}), φ ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{N}) のとき，

\begin{matrix}1 \\ ◯ \end{matrix} f ∗ φ ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{N}).

\begin{matrix}2 \\ ◯ \end{matrix} 任意の α ∈ ℤ_{+}^{N} に対して， D^{α}(f ∗ φ) = f ∗ (D^{α}φ).

\begin{matrix}3 \\ ◯ \end{matrix} 任意の |α| ≤ m を満たす α ∈ ℤ_{+}^{N} に対して， D^{α}(f ∗ φ) = (D^{α}f) ∗ φ.

\underline{定理．} C_{0}^{∞}(ℝ^{N}) は W^{m,p}(ℝ^{N}) で稠密である．

以下， p = 2 のときだけを考える． W^{m,2}(ℝ^{N}) を別の定義に言い換えて， m が正の実数である場合に一般化したい．

\underline{定義．} m ∈ ℕ ∪ \{0\} のときの H^{m}(ℝ^{N})，内積 (·, ·)_{H^{m}}, ノルム ∥ · ∥_{H^{m}}.

\underline{定理．} m ∈ ℕ ∪ \{0\} のとき， H^{m}(ℝ^{N}) = W^{m,2}(ℝ^{N})．（内積も等しい）

\underline{定義．} s ≥ 0 のときの H^{s}(ℝ^{N})，内積 (·, ·)_{H^{s}}, ノルム ∥ · ∥_{H^{s}}.

\underline{定理．} m ∈ ℕ ∪ \{0\} のとき， 2 つ前で定義した H^{m}(ℝ^{N}) と 1 つ前で定義した H^{m}(ℝ^{N}) は等しく，さらにこれらのノルムは同値である．

\underline{定理．} s ≥ 0 のとき， C_{0}^{∞}(ℝ^{N}) は H^{s}(ℝ^{N}) で稠密である．

\underline{定理（Sobolev の埋蔵定理）．} s > \frac{N}{2} ならば， H^{s}(ℝ^{N}) の元は連続である．

（即ち， H^{s}(ℝ^{N}) ⊂ C(ℝ^{N}) ということである．正確には， f ∈ H^{s}(ℝ^{N}) のとき，測度 0 の集合上で適当に調節すれば， f が連続となるようにできるということである．）

\underline{注意．} s > \frac{N}{2} ならば，実は H^{s}(ℝ^{N}) ⊂ C_{∞}(ℝ^{N}) である．

\underline{定理（Sobolev の埋蔵定理）．} s − \frac{N}{2} > m, m ∈ ℕ のとき， f ∈ H^{s}(ℝ^{N}) ⟹ f ∈ C^{m}(ℝ^{N}).

\underline{例．} ℝ 上の関数 f(x) = max\{1 − |x|, 0\} に対して， f ∈ H^{s}(ℝ) となる s ≥ 0 の範囲は？