数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A レポート問題 No.1 （2025.4.8 出題）

解答は\underline{A4 の用紙}に記入し， 4 月 10 日（木） 10:30 までに，

• 紙媒体であれば数学図書室内レポートボックスに提出，または 4 月 10 日（木）の講義時に滝本に直接提出

• PDF ファイルであれば Moodle に提出

  （ファイル名は SuurikaisekiAreport1_*******.pdf （******* は学生番号））

して下さい．表紙は不要ですが，学生番号・氏名をお忘れなく．

１ Lebesgue の収束定理のステートメントを書け．（証明は不要）

２ ∫_{−∞}^{∞} e^{−x^{2}} dx = \sqrt{π} を証明せよ．（できるだけ厳密に）

（ヒント： I = ∫_{−∞}^{∞} e^{−x^{2}} dx とおき， I^{2} を重積分（の極限）で表す．）

３ ξ ∈ ℝ を定数とする．次の各問に答えよ．

(1) f(z) = \frac{e^{−iξz}}{z^{2} + 1} とおく．複素平面 ℂ 内における f(z) の極を全て求め，おのおのの極における位数および留数を求めよ^{1}．（答だけで良い）

(2) ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{−iξx}}{x^{2} + 1} dx の値を，複素積分の方法を用いて求めよ．

1 「極の位数」「留数」の意味が分からない場合は，複素解析学の本を見て調べましょう．それでも分からなければ，関数 f(z) が正則でない点を全て求めて下さい．