数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A レポート問題 No.1 解説（2025.4.8 出題）

初回の講義中に申し上げたとおり，このレポートを提出された方は，出来具合にかかわらず全員同じ評価を行いました．以下，皆さんの答案を見て感じたことについて書きたいと思います．

１いろいろな答案がありましたが，教科書に載っている形としては

(X, B, μ) を測度空間とし， (f_{n}) を X 上の B-可測関数列， f を X 上の B-可測関 ; 数とする．いま，次の 2 条件が成り立つと仮定する： ; 1 ◯ (f_{n}(x)) は X 上ほとんどいたるところ f(x) に収束する． ; 2 ◯ ある μ-可積分関数 g が存在して， ; 任意の n ∈ ℕ に対して |f_{n}(x)| ≤ g(x) μ-a.e.x ∈ X が成立する． ; このとき， f は μ-可積分関数であり ; lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n} dμ = ∫_{X} f dμ ; が成立する．

です．今後の講義で何度も使われる定理ですので，しっかり復習しておいてください．

「μ-a.e.x ∈ X」を「∀x ∈ X」と書いた人が多かったです．これでも数学的には正しい命題ですが（条件が厳しくなっただけだから），「a.e.」で記述した方が汎用性が高いです．なお，「f が μ-可積分であること」は仮定ではなく結論です．

２内部進学の方はおそらく解析学 IV で学習したことでしょう．解答は当時の講義ノートや教科書をご覧いただくとしまして，どのような方法で議論を進めるにせよ大事なのは ∫∫_{ℝ^{2}} e^{−(x^{2}+y^{2})} dxdy の取り扱いでしょう．

Riemann 広義重積分として可積分である（近似列の取り方に依らずに極限値が定まる）ことを示す際には，被積分関数が非負値であることに言及する必要があります．一方，

Lebesgue 積分としてみた場合にも， A_{n} := \{x^{2} +y^{2} ≤ n^{2}\}， χ_{A_{n}}(x, y) = \begin{cases}1 & ((x, y) ∈ A_{n}) \\ 0 & ((x, y) ∉ A_{n}) \end{cases}

とおいたとき

∫∫_{ℝ^{2}} e^{−(x^{2}+y^{2})} dxdy = lim_{n→∞} ∫∫_{ℝ^{2}} χ_{A_{n}}(x, y)e^{−(x^{2}+y^{2})} dxdy

= lim_{n→∞} ∫∫_{A_{n}} e^{−(x^{2}+y^{2})} dxdy

を示す際には，単調収束定理を使うわけですからやはり被積分関数が非負値であることが重要です．この点に言及した答案は多くはなかったです．３複素解析学で学んだ内容の復習ですが，実は ℝ 上の関数\frac{1}{x^{2} + 1} の Fourier 変換を求めるという問題です．

(1) 極は i と −i で共に 1 位の極，留数はそれぞれ\frac{e^{ξ}}{2i}, −\frac{e^{−ξ}}{2i} です．

(2) 答は πe^{−|ξ|} です．\frac{e^{−ixξ}}{x^{2} + 1} が ℝ 上で可積分であることに言及した答案は非常に少なかったですが，それは大したことではありません．積分路を −R から R までの線分を直径とする半円として留数定理（Cauchy の積分定理）を用い，次に円弧上の線積分が R → ∞ のときに 0 に近づくことを利用して求めるわけですが，円弧を ξ ≥ 0 のときは下半平面内に， ξ < 0 のときは上半平面内に取らなければ円弧上の線積分は 0 に収束しません．

結局，\frac{1}{x^{2} + 1} の Fourier 変換は πe^{−|ξ|} ということになります．今後の講義で触れますが， Fourier 変換について学習を進めると，答が πe^{−ξ} や πe^{ξ} になるのはおかしいと分かるようになるでしょう．