解析学 I レポート問題 No.2 （2026.6.16 出題）

プリントは http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/takimoto/R8Kai1.html にも置いてあります．

以下の指示に従って，レポートを提出してください．

• 裏面にある問題のうち，解けたものについてレポートにして提出してください．

• 期限・提出場所は以下の通りとします．

期限： 6 月 22 日（月） 13 時 00 分（〆切厳守）提出場所：数学図書室 (A209) レポート提出ボックス，または Moodle 上で PDF ファイルを提出

• 紙媒体で提出する場合は，必ず A4 の用紙を使用し， 2 枚以上になる場合は左上をホッチキス等でしっかり綴じてください．

• Moodle で提出する場合は，必ず PDF ファイルで提出してください．また，ファイル

 名を Kai1report2_B******.pdf （B****** は学生番号）としてください．

提出場所は Moodle の「講義」セクションの「第 3 回 (6/16)」にあります．

• 表紙は付けなくて結構です．学生番号・氏名をお忘れなく．

• 解けなかった問題についても，「このように考えてここまでわかったがその先がわからない」といったことや，「このように考えたが解くことができなかった」といったことを書いてくれれば，内容に応じて評価します．

• ただし，レポートの体をなさないものは不提出扱いとします．また，他人のレポートをほぼ丸写ししたと思われるものは（写したレポート，写されたレポート双方を）不提出扱いとし，\underline{さらに大幅な減点とします}．

• レポートは添削した後返却します．問１数列の収束・発散の定義に従って次を示せ．

(1) a_{n} = \frac{cos 2n}{\sqrt{n}} (n ∈ ℕ) と定めるとき， lim_{n→∞} a_{n} = 0.

(2) b_{n} = 2026 (n ∈ ℕ) と定めるとき， lim_{n→∞} b_{n} = 2026.

(3) c_{n} = \frac{n^{3}}{n + 1} (n ∈ ℕ) と定めるとき， lim_{n→∞} c_{n} = ∞.

（ヒント：\frac{n^{3}}{n + 1} > M を解こうとすると大変です．そこで， c_{n} = n^{2} − n + \frac{n}{n + 1} と変形すると， n^{2} − n ≥ M が成り立つような n を取れば， c_{n} > M も成り立つことが分かります．すると， N をどう決めれば……）

(4) d_{n} = −4 − 3n (n ∈ ℕ) と定めるとき， lim_{n→∞} d_{n} = −∞.

問２数列 {a_{n}} が収束すると仮定し， c ∈ ℝ とする．このとき数列 {c a_{n}} も収束し，

lim_{n→∞}(c a_{n}) = c lim_{n→∞} a_{n}

が成り立つことを示せ．

問３（皆さんが高校の先生になったと仮定してこの問題を解いてください）

「a_{n} = (−1)^{n} で定義される数列 {a_{n}} の極限を調べよ．」という問題に対して，ある高校生が次のような解答をした．

α = lim_{n→∞} a_{n} とおく．すべての自然数 n について a_{n+1} = (−1) a_{n} であるので

α = lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} a_{n+1} = lim_{n→∞}((−1) a_{n}) = (−1) lim_{n→∞} a_{n} = (−1) α

が成り立ち， α = (−1) α を解くと α = 0 を得る．故に， lim_{n→∞} a_{n} = 0 である．

もしこの解答に何か問題点があると思えば，それを指摘せよ^{1}．

問４次の問に答えよ．

(1) 6/16 の講義で，「数列 {a_{n}} が α に収束する」ことを

∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ s.t. n ≥ N ⟹ |a_{n} − α| < ε

で定義した．これを正確に記述すると

∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ s.t. ∀n ∈ ℕ (n ≥ N ⟹ |a_{n} − α| < ε)

であることに注意して，「数列 {a_{n}} が α に収束しない」ことの定義を，論理記号を用いて述べよ．

(2) 数列 {a_{n}} を a_{n} = (−1)^{n} で定義する．数列 {a_{n}} が 1 に収束しないことを， (1) で述_{^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿}}

べた定義に従って_{^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿}}証明せよ^{2}．

1将来は高校の数学の先生になりたい！という方は，実際に高校生に説明するような口調で書いていただいて構いません．

2数列 {a_{n}} はどんな実数にも収束しない，即ち， {a_{n}} は発散する_{^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿} ^{∿}}のですが，余力があればこのことも証明してみましょう．