解析学 I チェックリスト−数列−（2026.6.23 配布）

プリントは https://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/takimoto/R8Kai1.html にも置いてあります．

１ {a_{n}} を数列， α ∈ ℝ とするとき，次の (1)〜(8) の定義を論理記号を用いて述べよ．また， (9)〜(11) の問に答えよ．

(1) lim_{n→∞} a_{n} = α (2) lim_{n→∞} a_{n} = ∞ (3) lim_{n→∞} a_{n} = −∞

(4) {a_{n}} が収束する． (5) {a_{n}} が発散する．

(6) {a_{n}} が単調増加数列である． (7) {a_{n}} が狭義単調増加数列である．

(8) {a_{n}} がコーシー列である．

(9) {a_{n}} の部分列とはどういうものであるか説明せよ．

(10) ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理のステートメントを述べよ．

(11) 実数の完備性とはどのような性質であるかを述べよ．

２ {a_{n}}, {b_{n}} を数列とする．次の各命題の真偽を判定し，その理由を述べよ．（裏面に

各命題の真偽についてのみ解答を掲載しました．理由が分からないという方は質問して下さい．）

(1) 数列 {a_{n} + b_{n}}, {a_{n} − b_{n}} が共に収束するならば， {a_{n}}, {b_{n}} は共に収束する．

(2) 数列 {a_{n} + b_{n}}, {a_{n}b_{n}} が共に収束するならば， {a_{n}}, {b_{n}} は共に収束する．

(3) lim_{n→∞}(a_{n} − b_{n}) = 0 ならば， lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} b_{n} である．

(4) 全ての項が有理数であるような数列 {a_{n}} が収束するならば，極限 lim_{n→∞} a_{n} も有理数である．

(5) 有界な数列は必ず収束する．

(6) 有界でない数列は必ず発散する．

(7) 上に有界でない数列は必ず ∞ に発散する．

(8) a_{n} ≠ 0 (∀n ∈ ℕ) かつ lim_{n→∞} a_{n} = 0 であるならば， lim_{n→∞} \frac{1}{a_{n}} = ∞ である．

(9) lim_{n→∞} a_{n} = ∞, lim_{n→∞} b_{n} = −∞ ならば， lim_{n→∞}(a_{n} + b_{n}) = 0 である．

(10) lim_{n→∞} a_{n} = ∞, lim_{n→∞} b_{n} = −∞ ならば， lim_{n→∞}(a_{n} − b_{n}) = ∞ である．

(11) lim_{n→∞} a_{n} = ∞, lim_{n→∞} b_{n} = −∞ ならば， lim_{n→∞} a_{n}b_{n} = −∞ である．

(12) lim_{n→∞} a_{n} = ∞, lim_{n→∞} b_{n} = −∞ ならば， lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} = −1 である．

(13) a_{n} = sin n で定義される数列 {a_{n}} には収束する部分列が存在する．

(14) 収束する数列 {a_{n}} の部分列は必ず収束する．

(15) 発散する数列 {a_{n}} の部分列は必ず発散する．

(16) ∞ に発散する数列 {a_{n}} の部分列は必ず ∞ に発散する．

(17) コーシー列は有界列である．３ A を空でない実数の部分集合， {a_{n}}, {b_{n}} を数列， α ∈ ℝ とする．次の各命題を証明せよ．

(1) {a_{n}}, {b_{n}} が共に収束列で a_{n} ≤ b_{n} (∀n ∈ ℕ) ならば， lim_{n→∞} a_{n} ≤ lim_{n→∞} b_{n}．

(2) a_{n} ≥ 0 (∀n ∈ ℕ) であり lim_{n→∞} a_{n} = α ならば， lim_{n→∞} \sqrt{a_{n}} = \sqrt{α}．

(3) a_{n} ≥ 0 (∀n ∈ ℕ) であり lim_{n→∞} a_{n} = ∞ ならば， lim_{n→∞} \sqrt{a_{n}} = ∞．

(4) α = sup A が存在するとき，次の二つの性質を満たす数列 {a_{n}} が存在する．

(i) 任意の n ∈ ℕ に対して a_{n} ∈ A. (ii) lim_{n→∞} a_{n} = α.

(5) 部分列 {a_{2k−1}}_{k=1}^{∞}, {a_{2k}}_{k=1}^{∞} が共に収束し， lim_{k→∞} a_{2k−1} = lim_{k→∞} a_{2k} = α ならば，

lim_{n→∞} a_{n} = α が成り立つ．

２ (1) 真 (2) 偽 (3) 偽 (4) 偽 (5) 偽 (6) 真 (7) 偽 (8) 偽 (9) 偽 (10) 真 (11) 真

(12) 偽 (13) 真 (14) 真 (15) 偽 (16) 真 (17) 真