広島大学 トポロジー・幾何セミナー 講演者アブストラクト

• 4/7：Andreas Arvanitoyeorgos 氏（University of Patras, Greece）- Progress on homogeneous Einstein manifolds

  A Riemannian manifold (M, g) is called Einstein if the Ricci tensor satisfies Ric(g) = λg for some c ∈ R. The problem is quite difficult in this generality so we normally impose some symmetry conditions on the space. For a Riemannian homogeneous space (M = G/H, g), where G is a Lie group and H a closed subgroup of G, the problem is to classify all G-invariant Einstein metrics. We restrict ourselves to the case when G is compact and discuss progress on this problem on two important classes of homogeneous spaces, namely generalized flag manifolds and Stiefel manifolds. A generalized flag manifold is a compact homogeneous space M = G/H = G/C(S), where G is a compact semisimple Lie group and C(S) is the centralizer of a torus in G. Equivalently, it is the orbit of the adjoint representation of G. A (real) Stiefel manifold V_k R^n is the set of orthonormal k-frames in R^n and is diffeomorphic to the homogeneous space SO(n)/SO(n-k). A central difference between these spaces is that for Stiefel manifolds it is not easy to have a complete description of all G-invariant Riemannian metrics. In both cases various difficulties appear, such as the description of the Ricci tensor, as well as solving the Einstein equation. This reduces to an algebraic system of equations. In many cases such systems involve parameters and we use Grobner bases techniques to prove existence of positive solutions. Time permitting, I will also present some recent progress on leftinvariant Einstein metrics on compact Lie groups, which are not naturally reductive.



• 4/21：安井 弘一 氏（広島大学理学研究科）- Exotic 4-manifolds and non-concordant knots with the same 0-surgery

  1978年にAkbulutとKirbyは、0手術が同じ二つの結び目はコンコーダントであると予想した。 実際多くのコンコーダンス不変量に対し、結び目の0手術が同じであれば不変量の値が一致することが知られている。 本講演ではこの予想（の向きに関する修正版）の初の反例を与える。 さらに、結び目の改変操作によるエキゾチックな4次元多様体の構成法を与える。 上記の反例はこの構成法によって得られる。
  

• 4/22：北川　宜稔 氏 （東京大学数理科学研究科）- 部分群の複素化のみに依存する正則離散系列表現の分岐則の性質について

  G/Kをエルミート型対称空間とする。 このとき、G/K上のベクトル束の切断の空間に正則離散系列表現とよばれるGの表現が定まり、 これは有限次元表現の最も簡単な一般化となっている。 さらに、(G,H)と(G,H')を対称対とし、HとH'の複素化がGの複素化の中で、同型な対称対を定めると仮定する。 本講演では、正則離散系列表現をHとH'の表現と考えたときの既約分解が、この仮定の下でよく似た振る舞いをするということを紹介する。
  

• 4/24：馬場　伸平　氏（MSRI）- Complex projective structures on surfaces, and PSL(2, C)-character varieties

  曲面上の複素射影構造は局所的にリーマン球上に実現される幾何学構造であり、複素構造の精密化である。 局所座標変換がPSL(2,C) のリーマン球への作用で与えられるため、 おのおのの複素射影構造は曲面の基本群からPSL(2,C)への準同型写像（ホロノミー表現）が対応する。 なお、この写像は一般には離散とは限らない。以下の予定で３講義を行う。
  （１）１３：００ー１４：００ 複素射影構造入門：複素射影構造の定義、ホロノミー表現、ホロノミーマップ、Thurston coordinates.
  （２) 　１４：１５ー１５：１５ Graftring:　一般にホロノミー表現を固定すると、加算個の複素射影構造が対応する。 このような異なる射影構造の例は（2pi-)graftingという曲・Eﾊ・ﾌ”切り張り”によって得られる。 一般的なホロノミーを固定すると、Graftingで全ての射影構造を生成することができる。
  （３）１５：４５ー１６：４５ 退化： 幾何学構造において退化は基本問題である。 複素射影構造の退化でホロノミー表現は収束するものを考る。 特にnodeつき曲面への退化について特徴づけをする。
  

• 4/28：吉田 建一 氏（東大数理）- Stable presentation length of 3-manifold groups

  有限表示群に対しpresentation lengthという不変量がDelzantによって導入されている。 本講演では、presentation lengthを有限指数部分群に関して安定化させた stable presentation length について紹介する。 3次元多様体の基本群のstable presentation lengthは、単体体積およびFrancavigliaとFrigerioとMartelliによる stable complexity の類似とみなせて、 連結和分解やJSJ 分解に関する加法性を満たすことを説明する。
  

• 4/30：中濱 良祐 氏（東大数理）- ベクトル値正則離散系列表現のノルム計算と解析接続　
  (Norm computation and analytic continuation of vector valued holomorphic discrete series representations)

  正則離散系列表現は，複素有界対称領域上のベクトル値正則関数空間上に実現される． そのノルムはパラメータが十分大きい場合には収束する積分で表せるが， パラメータが小さくなるとその積分は収束しなくなる． しかし，ノルムを具体的に計算することによって， その小さいパラメータへの解析接続を考えることができ， そのユニタリ化可能性などの性質を論じることができる． 本講演ではノルムの具体的な計算に関する結果を扱う．
  
  The holomorphic discrete series representations is realized on the space of vector-valued holomorphic functions on the complex bounded symmetric domains. When the parameter is sufficiently large, then its norm is given by the converging integral, but when the parameter becomes small, then the integral does not converge. However, if once we compute the norm explicitly, then we can consider its analytic continuation, and can discuss its properties, such as unitarizability. In this talk we treat the results on explicit norm computation.
  

• 5/12：見村 万佐人 氏（東北大学理学研究科）- 有限生成群のなす位相空間と、距離カジュダン定数

  Grigorchuk によって、自然数 k を固定したとき、k 元生成群とその生成系の組 （これを「k-marked 群」という）全体のなす集合に自然なコンパクト距離化可能 位相が導入された。“自然な”と書いたが、定義が自然なだけで、だいたいの群 の性質はこの位相で開でも閉でもない。この位相による marked 群の収束を把握 するのは一般に困難である。そんな中で意外な結果として、Shalom による 「Kazhdan の性質 (T) はこの位相空間で開である」 という定理がある。本研究では、更に進んで、 「marked 群に対しその Kazhdan 定数（といわれる 0 以上の実数）を返す関数が下半連続である」 ことを示す。性質 (T) をもつことはこの定数が正であることとして定義されたので、 この結果は上記の定理の定量化を与える。証明はより一般の距離空間上の群作用 の状況で“距離 Kazhdan 定数”という量を導入することで与えられる。
  以上をご覧になって、「下半連続とわかって何が嬉しいの」と思われるのはそれこそ “自然”かもしれない。一つの応用例として、「確証可能なケーリー・エクスパンダー グラフ（Cayley verifiable expander）」の話がある。これについても時間が許す限り述べたい。
  

• 5/19： 長谷川　和志 氏（金沢大学 人間社会研究域）- ツイスター正則なアファイン曲面と射影不変量

  接続の与えられた偶数次元の多様体へのアファインはめ込みで， ツイスターリフトとよばれるツイスター空間への写像を持つようなものを考える． このようなはめ込みに対する射影不変な量・性質を紹介する． 特に，ツイスター空間上に自然に定義される概複素構造に関してツイスターリフトが正則であるとき， そのアファインはめ込みはツイスター正則であるとよぶ. なお，この性質は射影不変な性質である． 本講演では，主にツイスター正則な曲面を考える． 例えば，射影平坦な多様体内のツイスター正則な曲面に関して， ある種の射影不変な積分量が離散的な値をとることなどを紹介する． この応用として，E. Calabiによる 「単位球面内のコンパクト超極小曲面の面積は$2 \pi$の整数倍となる」 ことも得られる． ツイスターリフトが正則となるはめ込みは，等長はめ込みの設定では多くの研究があるが (T. Friedrich, On surfaces in four-spaces, Ann. Global Anal. Geom.2, 275-287 (1984)等)， 等長はめ込みの場合には現れないような例などもあり，興味深いと思われる．
  In this talk, we consider affine immersions with twistor lifts and their projective invariants. An affine immersion with holomorphic twistor lift is called twistor holomorphic. In particular, the property that an affine immersion is twistor holomorphic is invariant under the projective changes of the connection of an ambient manifold. We prove that a certain projective invariant has discrete values if a surface in a projectively flat manifold is twistor holomorphic. As an application, we can see that the volume of a compact superminimal surface in an unit sphere is an integer multiple of $2 \pi$, which is obtained by E. Calabi. Although such immersions are studied in many papers (for example, T. Friedrich, On surfaces in four-spaces, Ann. Global Anal. Geom.2, 275-287 (1984))　 in Riemannian geometry, there are examples which can not be found in Riemannian geometry.



• 5/22： Nigel Higson 氏（Pennsylvania State University）- The Oka principle: commutative and noncommutative

  Kiyoshi Oka proved in 1938 that topological line bundles over closed, complex sub manifolds of complex affine space admit unique holomorphic structures. Nearly twenty years later, Hans Grauert proved the same theorem for topological vector bundles of any rank. I will examine these results from the point of view of K-theory, and explain the proofs, which are strikingly similar to the proofs of some fundamental theorems in homology theory, for example the Jordan separation theorem. Oka’s theorem is in some sense “commutative,” since it concerns the abelian Lie group GL(1,C), whereas Grauert’s theorem concerns the non-abelian groups GL(n,C). But there are further extensions of both theorems into the realm of noncommutative geometry (in the sense of Alain Connes), and as I shall explain these extensions have interesting links to representation theory.
  

• 6/9： 寺垣内 政一 氏（広島大学）- Generalized torsion elements in the knot groups of twist knots

  結び目群が非自明な有限位数の元をもたないことは古典的結果であるが， 一般化トーションとよばれる元の存在は可能である． トーラス結び目群が簡単な例である． 双曲結び目群について，一般化トーションの存在は未解決であったが， 昨年，Naylor-Rolfsenにより，双曲結び目5_2について， 計算機を用いてその存在が示された． 5_2はツイスト結び目の1つである． 本講演では，すべてのツイスト結び目について， 一般化トーションの存在・非存在を決定する． 初等的な語の変形だけで証明は行える．
  

• 7/7： Yuri Nikolayevsky 氏 (La Trobe University, Australia)
  Talk 1: Solvable Lie groups of negative Ricci curvature
  Talk 2: Totally geodesic hypersurfaces of homogeneous spaces

  Talk 1: Solvable Lie groups of negative Ricci curvature
  Abstract: The question of which homogeneous manifolds admit a left-invariant metric with the given sign of the curvature is well understood for the sectional curvature and also, for the positive and zero Ricci curvature. The case of negative Ricci curvature is wide open (semisimple examples constructed in the 80's). Our main question is the characterisation of (nonunimodular) solvable Lie groups admitting a left-invariant metric with Ric < 0. We answer this question for solvable Lie algebras whose nilradical is either abelian, or Heisenberg, or filiform. All of them have the same flavour: “there exists a vector Y such that real parts of the restriction of ad(Y) to the nilradical satisfy certain linear inequalities (which depend on the particular nilradical)”. Whether or not this can be generalised to all nilradicals is an open question. This is a joint ongoing project with Yurii Nikonorov.
  
  Talk 2: Totally geodesic hypersurfaces of homogeneous spaces
  Abstract: We show that a simply connected Riemannian homogeneous space M which admits a totally geodesic hypersurface F is isometric to either (a) the Riemannian product of a space of constant curvature and a homogeneous space, or (b) the warped product of the Euclidean space and a homogeneous space, or (c) the twisted product of the line and a homogeneous space (with the warping/twisting function in the last two cases given explicitly). In the first case, the hypersurface F by itself is also the Riemannian product; in the last two cases, it is a leaf of a totally geodesic homogeneous fibration. Case (c) can alternatively be characterised by the fact that M admits a Riemannian submersion onto the universal cover of the group SL(2) equipped with a particular left-invariant metric, and F is the preimage of a two-dimensional solvable totally geodesic subgroup of SL(2).
  

• 7/7： 佐藤 光樹氏 (東京工業大学理工学研究科）- 結び目の4次元多様体における特性ホモロジー類

  閉4次元多様体Xから4次元開球を切除した空間をX-Bとする． X-Bの境界内の結び目Kに対し，Xのある特性ホモロジー類vが X-B内のKを境界にもつ円板によって実現されるとき，vを結び目Kの特性ホモロジー類と呼ぶ． 結び目の特性ホモロジー類の研究は，結び目の局所変形・結び目コンコーダンス理論・ 4次元多様体のホモロジー類の最小種数問題を密接に関係づける．本講演では， 結び目の特性ホモロジー類の考察を応用して得られる次の二つの結果を紹介する． 一つ目の応用では，結び目がスピン4次元多様体内で張るnull-homologousな 非有向曲面の1次元ベ ッチ数の評価式を与える．2つ目の応用では，結び目の1手術を境界にもつ 正定値スピン4次元多様体を構成し，1手術のHeegaard Floer d-不変量の評価式を与える．
  

• 7/21 : 金　英子氏 （大阪大学大学院理学研究科）-The asymptotic behavior of the minimal pseudo-Anosov dilatations in the hyperelliptic handlebody groups

  This is a joint work with Susumu Hirose. We consider the hyperelliptic handlebody group on a closed surface of genus $g$. This is the subgroup of the mapping class group on a closed surface of genus $g$ consisting of isotopy classes of homeomorphisms on the surface that commute with some fixed hyperelliptic involution and that extend to homeomorphisms on the handlebody. We prove that the logarithm of the minimal dilatation (i.e, the minimal entropy) of all pseudo-Anosov elements in the hyperelliptic handlebody group of genus $g$ is comparable to $1/g$. This means that the asymptotic behavior of the minimal pseudo-Anosov dilatation of the subgroup of genus $g$ in question is the same as that of the ambient mapping class group of genus $g$.
  

• 8/4 : Liang Chen 氏　(Northeast Normal University）-Legendrian dualities and their applications

  A theorem of Legendrian dualities for pseudo-spheres in Minkowski space, developed by Prof. Shuichi Izumiya, is now a fundamental tool for the study of extrinsic differential geometry on submanifolds in these pseudo-spheres from the view point of Singularity theory. We now generalized those Legedrian dualities to general semi-Euclidean space. In this talk, I will firstly introduce these Legendrian dualities, and then give several applications of them.
  

• 8/4 : 梶ヶ谷 徹 氏 （大阪市立大学）-ケーラー多様体内のハミルトン極小ラグランジュ部分多様体について

  シンプレクティック多様体内のラグランジュ部分多様体は, 近年様々な分野で盛んに研究されている重要な部分多様体の一つである. 本講演では, 主にケーラー多様体内のラグランジュ部分多様体に対し, ケーラー構造から引き出される微分幾何学的な基本性質を紹介するとともに, ハミルトン的体積最小性問題について簡潔に解説する. 無限小のハミルトン変形のもとでの体積汎関数の停留値を与えるラグランジュ部分多様体をハミルトン極小と呼ぶが, それらは, ラグランジュ部分多様体のハミルトンイソトピー類内の「よい」代表元を与えることが期待されており, 事実, 複素ユークリッド空間, エルミート対称空間などの自然なケーラー多様体内に, 豊富に具体例が存在する. それらの例の構成には, 様々な幾何学からのアプローチが可能であるが, 今回は, 等型超曲面やs-表現を用いた構成について自身の結果を踏まえ紹介し, 複数の視点から考察を加える.
  

• 10/6 : 早野 健太 氏 （北海道大学）-レフシェッツ束の多重切断とシンプレクティック４次元多様体のトポロジー

  レフシェッツ束の多重切断とは、全空間に埋め込まれた曲面であり、 そこへのレフシェッツ束の制限が単純分岐被覆になっているものである。 本講演ではまず多重切断を、写像類群を用いて組み合わせ的に扱う方法について説明する。 そしてこの手法を用いて得られる、レフシェッツ束やシンプレクティック曲面の興味深い例を紹介する。 本講演で紹介する結果は、Refik Inanc Baykur氏(University of Massachusetts)との共同研究によるものである。
  

• 10/20 : 正井 秀俊 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)-Closed random mapping tori are asymmetric

  閉曲面の写像類群上のランダムウォークを考え， それらから得られる写像トーラスをランダム写像トーラスと呼ぶ． ランダム写像トーラスは漸近的に確率１で閉双曲多様体になることが 知られている．また，閉双曲多様体の写像類群は有限群となることが 知られている．この講演ではランダム写像トーラスの写像類群は 漸近的に確率１で自明となることを証明する.
  

• 11/10 : 廣瀬 進 氏 (東京理科大学理工学部)-超楕円的ハンドル体群の有限表示について

  ３次元球体に１ハンドルを接合して得られる向き付け可能な３次元多様体を３次元ハンドル体と呼ぶ． ３次元ハンドル体は３次元多様体の基本的な構成要素である事から， その写像類群を考える事は重要な問題であると思われる． ３次元ハンドル体の写像類群の中で，hyperelliptic involution と可換な元のなす部分群， すなわち超楕円的ハンドル体群を考えると， これは，自然に球面上の組み紐群の wicket group もしくは Hilden group と呼ばれる部分群に対応する． この対応を用いることで得られた超楕円的ハンドル体群の有限表示を紹介する． 本講演で紹介する結果は，金英子氏（大阪大学）との共同研究によるものである．
  

• 11/17 : 沢井 洋 氏 (沼津高専)-可解多様体上の Vaisman 構造

  局所共形ケーラー多様体において, その Lee 形式が計量に関して平行のとき, Vaisman 多様体という. 本講演では, 可解多様体における Vaisman 構造を微分形式のみによって特徴付けする. さらに, 応用として, 局所共形ケーラー構造をもたない局所共形シンプレクティック多様体の構成, Vaisman 完全可解多様体の決定についても言及する.
  

• 11/24 : 大鳥羽 暢彦 氏(慶應義塾大学) -球面束上のスカラー曲率一定計量

  本講演は Jimmy Petean 教授との共同研究に基づく. 構造群つきファ イバー束 (より正確には, 全測地的ファイ バーを持つ Riemann 沈め込み) の全空間において山辺 PDE を解析する我々の試みについて話す. 時間が許せば, Riemann 等質空間上の球面束の全空間にスカラー曲率一定計量を構成する2つの手法についても説明したい.
  

• 11/27 : 横田 佳之 氏 (首都大学)-On the cusp shape of hyperbolic knots and its generalizations

  It is known that the complex volume of hyperbolic knots is given by the potential function which appears in the study of the volume conjecture. In this talk, by using a natural deformation of the potential function, we give a formula for the Neumann-Zagier series derived from the holonomy of the longitude of hyperbolic knots.
  

• 12/8 : Alex Degtyarev 氏 (Bilkent University)-Slopes of colored links

  This work is motivated by our previous study of the behavior of the signature of colored links under the splice operation. The signature is mainly additive, with a regular correction term related to the generalized Hopf links. However, this almost additivity is lost along a certain ``singular locus,'' which is the subject of our current work. To describe the extra correction term (arising as a Maslov index in Wall's non-additivity theorem), we introduce a collection of invariants of colored links, called slopes. It turns out that the slope can be represented as the ratio of two sign-refined Alexander polynomials (or rather derivatives thereof), whenever this ratio makes sense. However, experiments with the link tables show that, when both polynomials in question vanish, the rational function obtained is independent of the higher Alexander polynomials, thus providing a new link invariant. (This invariant does distinguish some of the links in the tables.) Even isolated common zeroes of the two polynomials sometimes lead to surprises, as l'Hôpital's rule does not work. Should time permit, I will discuss further properties of the new invariants and outline several ways of computing them. This is a joint work in progress with Vincent Florens and Ana G. Lecuona.
  

• 12/22 : 三石 史人 氏 (東北大学)-アレクサンドロフ空間の良い被覆

  「曲率が下に有界」という概念を備えた距離空間は、 アレクサンドロフ空間と呼ばれ、リーマン幾何において重要な対象です。 当日の談話会ではアレクサンドロフ空間の崩壊について紹介しますので、 ご興味のある方はそちらにもお越しください。 良い被覆という概念が多様体や位相空間に対して定義されており、 それらの空間の位相を知る上で有益となります。 我々はアレクサンドロフ空間に対して良い被覆の概念をリーズナブルな条件 として定義し、任意のアレクサンドロフ空間は良い被覆を持つ事を証明しました。 またアレクサンドロフ空間の非崩壊収束に関する良い被覆の安定性を証明しました。 講演ではこれらの事柄を紹介します。 また時間に余裕があれば、別の関連する結果もお話しします。 本講演は、京都大学の山口孝男氏との共同研究に基づきます。 プレプリントは http://arxiv.org/abs/1508.07110 にございますのでよろしければそちらもご参考下さい。
  

• 2016/1/12 : 山田 拓身 氏 (島根大学総合理工学研究科)-Hodge numbers and invariant complex structures on compact nilmanifolds

  コンパクトケーラー多様体上のホッジ数には対称性があるが, コンパクト複素多様体では一般にそのような対称性はない. しかしコンパクトベキ零多様体上の複素構造を複数考えることで, ホッジ数にある対称性が現われる場合がある. 本講演ではコンパクトベキ零多様体上の複素構造とホッジ数の関係について得られた結果等について紹介する.
  

• 2016/1/19 : 中西 敏浩 氏 (島根大学大学院総合理工学研究科)-タイヒミュラー空間のトレース関数と写像類群の有理変換としての表現

  種数$g$と長さを指定した$n$個の全測地的境界曲線をもつ双曲曲面のタイヒミュラー空間は， （空間の次元）+1個の測地的長さ関数を用いてパラメータ空間に埋め込むことができる。 本講演では，さらにそうした関数を，本質的には同じトレース関数でおきかえたとき， タイヒミュラー空間への写像類の作用がパラメータの有理変換になるように選べることを紹介する。 これは中村豪氏（愛知工業大学）との共同研究である。